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題面描述

一顆n個節點的樹，m次操作，有點權（該節點螞蟻個數）和邊權（相鄰節點的距離）。

三種操作：

操作1：1 i x將節點i的點權修改為x。(1 <= i <= n; 1 <= x <= 100000)

操作2：2 i x將第i條邊的邊權修改為x。(1 <= i < n; 1 <= x <= 100000)

操作3：3 i 節點i發出開會指令，求樹上所有螞蟻到走到節點i的距離和。(1 <= i <= n)

題解

先轉換問題為

求:

\(\sum_{i = 1}^{n} dep[x] + dep[i] - 2 * dep[lca(x, i)]\)

前面兩個式子顯然可以\(O(1)\)求

問題就是求後面那個東西，

可以發現,要求的就是兩倍的\(1-i,1-x\)重復的部分

那麽我們樹鏈剖分一下，記下每條邊被\(1-i\)這樣的路徑經過了多少次

然後詢問x，就是求\(1-x\)這條路徑上每一條邊的 邊權 * 被經過次數

接著就是想辦法維護上面的東西

線段樹維護兩個東西,區間邊權和 \(c\),邊權 * 被經過次數和 \(t\)

操作\(1:(x,y)\)

設原來權值為\(a[x]\)

修改即是,給點\(x\)加上\((y-a[x])\)

操作\(2:(i, x)\)

對於第一個式子,\(\sum_{i = 1}^{n}dep[x]\)

我們修改了這條邊,那麽以\(i\)

所以要維護一棵樹狀數組,來統計子樹有多少只螞蟻

然後修改線段樹,

因為是單點修改,遞歸找到那條邊

直接修改後,回溯更新即可

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long
#define RG register

using namespace std;
template<class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; RG char c = getchar(); bool f = 0;
    while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar(); if (c == '-') c = getchar(), f = 1;
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x*10+c-48, c = getchar();
    x = f ? -x : x;
    return ;
}
template<class T> inline void write(T x) {
    if (!x) {putchar(48);return ;}
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    int len = -1, z[20]; while (x > 0) z[++len] = x%10, x /= 10;
    for (RG int i = len; i >= 0; i--) putchar(z[i]+48);return ;
}

const int N = 500010;

struct node {
    int to, nxt, w;
}g[N];
int last[N], gl, n, m, a[N];
void add(int x, int y, int z) {
    g[++gl] = (node) {y, last[x], z};
    last[x] = gl;
}

int siz[N], son[N], s[N], dfn[N], w[N], tim, top[N], ed[N], fa[N];

void dfs1(int u) {
    siz[u] = 1; int mx = 0;
    for (int i = last[u]; i; i = g[i].nxt) {
        int v = g[i].to;
        fa[v] = u; s[v] = g[i].w;
        dfs1(v); siz[u] += siz[v];
        if (mx < siz[v]) mx = siz[v], son[u] = v;
    }
    return ;
}

void dfs2(int u, int topf) {    
    top[u] = topf; w[++tim] = s[u]; dfn[u] = tim;
    if (!son[u]) {ed[u] = tim; return ;}
    dfs2(son[u], topf);
    for (int i = last[u]; i; i = g[i].nxt) {
        int v = g[i].to; if (v == son[u]) continue;
        dfs2(v, v);     
    }
    ed[u] = tim;
    return ;
}

int c[N << 2], t[N << 2], lz[N << 2], sum, gg, ans;
#define ls (rt << 1)
#define rs (rt << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
void pushdown(int rt) {lz[ls] += lz[rt]; lz[rs] += lz[rt];t[ls] += lz[rt] * c[ls]; t[rs] += lz[rt] * c[rs];lz[rt] = 0;}
void pushup(int rt) {t[rt] = t[ls] + t[rs];c[rt] = c[ls] + c[rs];}
void build(int rt, int l, int r) {
    if (l == r) {c[rt] = w[l]; return ;}
    build(ls, l, mid); build(rs, mid + 1, r);
    pushup(rt);
}
void update(int rt, int l, int r, int L, int R, int k) {
    if (L <= l && r <= R) {
        lz[rt] += k; t[rt] += k * c[rt]; sum += k * c[rt];
        return ;
    }
    if (lz[rt]) pushdown(rt);
    if (L <= mid) update(ls, l, mid, L, R, k);
    if (R > mid) update(rs, mid + 1, r, L, R, k);
    pushup(rt);
}

void update(int rt, int l, int r, int pos, int k) {
    if (l == r) {
        t[rt] = t[rt] / c[rt] * k, c[rt] = k;
        return ;
    }
    if (lz[rt]) pushdown(rt);
    if (pos <= mid) update(ls, l, mid, pos, k);
    else update(rs, mid + 1, r, pos, k);
    pushup(rt);
}


int T[N];
inline void add(int x, int k) {for (; x <= n; x += x & (-x)) T[x] += k;}
inline int get(int x) {int res = 0;for (; x; x -= x & (-x)) res += T[x];return res;}

int query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l && r <= R) {sum += c[rt];return t[rt];}
    int res = 0;
    if (lz[rt]) pushdown(rt);
    if (L <= mid) res = query(ls, l, mid, L, R);
    if (R > mid) res += query(rs, mid + 1, r, L, R);
    return res;
}

int query(int x) {
    sum = 0;
    int res = 0;
    while (x) {
        res += query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x]);
        x = fa[top[x]];
    }
    return ans + sum * gg - 2 * res;
}

void update(int x, int k) {
    sum = 0; gg += k;
    add(dfn[x], k);
    while (x) {
        update(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x], k);
        x = fa[top[x]];
    }
    ans += sum;
    return ;
}

signed main() {
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    for (int i = 2, y, z; i <= n; i++) {
        read(y), read(z);
        add(y, i, z);
    }
    dfs1(1), dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) update(i, a[i]);
    while (m--) {
        int op, x, y;
        read(op), read(x);
        if (op == 3) printf("%lld\n", query(x));
        else {
            read(y);
            if (op == 1) update(x, y - a[x]), a[x] = y;
            else {
                ans += (y - s[x + 1]) * (get(ed[x + 1]) - get(dfn[x + 1] - 1));
                update(1, 1, n, dfn[x + 1], y), s[x + 1] = y;
            } 
        }
    }
    return 0;
}
 

牛客Wannafly挑戰賽26E 螞蟻開會(樹鏈剖分+線段樹)