Loj #2542. 「PKUWC2018」隨機遊走
Loj #2542. 「PKUWC2018」隨機遊走
題目描述
給定一棵 \(n\) 個結點的樹,你從點 \(x\) 出發,每次等概率隨機選擇一條與所在點相鄰的邊走過去。
有 \(Q\) 次詢問,每次詢問給定一個集合 \(S\),求如果從 \(x\) 出發一直隨機遊走,直到點集 \(S\) 中所有點都至少經過一次的話,期望遊走幾步。
特別地,點 \(x\)(即起點)視為一開始就被經過了一次。
答案對 $998244353 $ 取模。
輸入格式
第一行三個正整數 \(n,Q,x\)。
接下來 \(n-1\) 行,每行兩個正整數 \((u,v)\) 描述一條樹邊。
接下來 \(Q\) 行,每行第一個數 \(k\)
輸出格式
輸出 \(Q\) 行,每行一個非負整數表示答案。
數據範圍與提示
對於 \(20\%\) 的數據,有 \(1\leq n,Q\leq 5\)。
另有 \(10\%\) 的數據,滿足給定的樹是一條鏈。
另有 \(10\%\) 的數據,滿足對於所有詢問有 \(k=1\)。
另有 \(30\%\) 的數據,滿足 \(1\leq n\leq 10 ,Q=1\)。
對於 \(100\%\) 的數據,有 \(1\leq n\leq 18\),\(1\leq Q\leq 5000\),\(1\leq k\leq n\)。
Orz
首先根據\(\min-\max\)
\[ \max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]
設\(f_{v,S}\)表示從\(v\)出發,經過\(S\)中至少一個節點的期望步數。
如果\(v\in S\),\(f_{v,S}=0\),否則:
\[
f_v=1+\frac{1}{d_v}f_{fa}+\frac{1}{d_v}\sum f(u)\\]
然後這是顆樹,我們可以將\(DP\)方程移項變成只與\(fa\)的\(f\)值個一個常數有關。
設:
\[
f(v)=A_v*f_{fa}+B_v\\]
帶回去化簡:
\[
f_v=1+\frac{1}{d_v}f_{fa}+\frac{1}{d_v}\sum (A_u*f_v+B_u)\(d_v-\sum A_u)*f_v=d_v+f_{fa}+\sum B_u\f_v=\frac{1}{d_v-\sum A_u}*f_{fa}+\frac{d_v+\sum B_u}{d_v-\sum A_u}
\]
得到:
\[ A_v=\frac{1}{d_v-\sum A_u},B_v=\frac{d_v+\sum B_u}{d_v-\sum A_u} \]
代碼:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 19
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
int n;
int X,m;
struct road {int to,nxt;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}
ll w[N];
int d[N];
ll A[N],B[N],f[N];
int tag[N];
void dfs(int v,int fa) {
A[v]=B[v]=0;
ll sumA=0,sumB=0;
for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
int to=s[i].to;
if(to==fa) continue ;
dfs(to,v);
sumA=(sumA+A[to])%mod;
sumB=(sumB+B[to])%mod;
}
if(tag[v]) A[v]=B[v]=0;
else A[v]=ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2),B[v]=(d[v]+sumB)*ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2)%mod;
}
void dfs2(int v,int fa) {
f[v]=(A[v]*f[fa]+B[v])%mod;
for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
int to=s[i].to;
if(to==fa) continue ;
dfs2(to,v);
}
}
int mn[1<<N];
int main() {
n=Get(),m=Get(),X=Get();
int a,b;
for(int i=1;i<n;i++) {
a=Get(),b=Get();
add(a,b),add(b,a);
d[a]++,d[b]++;
}
for(int S=1;S<1<<n;S++) {
for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=1;
dfs(1,0),dfs2(1,0);
mn[S]=f[X];
for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=0;
}
for(int S=1;S<1<<n;S++) {
int cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++) cnt+=S>>i&1;
if(!(cnt&1)) mn[S]=(mod-mn[S])%mod;
}
for(int i=0;i<n;i++) {
for(int S=1;S<1<<n;S++) {
if(S>>i&1) mn[S]=(mn[S]+mn[S^(1<<i)]+mod)%mod;
}
}
while(m--) {
int k=Get();
int sta=0;
while(k--) sta|=1<<Get()-1;
cout<<mn[sta]<<"\n";
}
return 0;
}
Loj #2542. 「PKUWC2018」隨機遊走