題解-GXOI/GZOI2019 特技飛行
Problem
loj3085 bzoj不放題面差評
題意概要:給出兩條豎直直線,再給出 \(n\) 架飛機的初始航線:一條接通這兩條直線的線段,保證航線交點不在兩條直線上。現要求安排所有飛機在航線相交處做特技:
- 擦身而過:兩架飛機按原方向線路繼續前進,一次得分 \(b\)
- 對向交換:兩架飛機交換線路繼續前進,一次得分 \(a\)
另外,給定 \(k\) 個邊界與坐標軸成 \(45°\)角 的正方形,若一次特技被至少一個正方形囊括,則總得分加 \(c\)
現要求決策每次相遇做的特技,求最大/最小收益
同時要求決策方案中所有飛機 在兩條豎直直線處 按縱坐標的排序 相同
\(n, Q\leq 10^5\)
交點個數 \(\leq 5\times 10^5\)
這題意概要好像和原題面差不多了qwq
Solution
\(\mathrm{GXOI/GZOI2019}\) 的題好毒瘤啊,兩道聯賽、兩道原題、一道麻將題……完全不想打,就這題還有點意思……還偏偏要整個二合一……
交點個數 \(\leq 5\times 10^5\),應該是暗示要暴力求出來:交點一定是右部直線排序的逆序對(左部已經有序),用個 \(set\) 暴力掃就是 \(O(n\log n)\)。就得到了所有交點
\(c\) 的貢獻很明顯是單獨求的,將坐標系旋轉 \(45°\) 後就可以掃描線了。所以其實難度在於如何求 \(a,b\) 的貢獻
設交點總數為 \(t\),其中有 \(x\) 個點交換航線,\(t-x\) 個點不交換。這部分貢獻是 \(ax+b(t-x)=(a-b)x+bt\),所以總得分的最大最小值一定是 \(x\) 取最值時取得,即只需要求最少/多有多少個點交換航線
首先因為要求飛機在起終點的順序不變,而交換航線不會改變順序,所有點都交換航線肯定是可行的,即 \(x_{\max}=t\)
再考慮最小值。假如所有點都不換航線(\(x = 0\)),在大部分情況下都不合法,考慮使用最少的交換航線使得最終狀態與初始狀態一致:可以發現,若按照原航線行進時,飛機狀態的變化產生了 \(s_1\rightarrow s_2\rightarrow ...\rightarrow s_m\rightarrow s_1\)
那麽需要交換的次數為 "\(n-\)循環的個數"
復雜度為 \(O(n\log n+k\log k)\),瓶頸在暴力找交點和掃描線
Code
代碼中 get_cross
為暴力找交點,Circle
為找循環,Extra
為掃描線
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int&x){
char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}
const double eps = 1e-6;
const int N = 101000, M = 501000;
int l0[N], r0[N];
int n,L,R;
struct pnt {
double x, y;
friend inline bool operator < (const pnt&A,const pnt&B) {return A.x < B.x;}
}p[M];
int p0;
pnt crs(int i,int j) {
double th = (double)abs(l0[i] - l0[j]) / (abs(l0[i] - l0[j]) + abs(r0[i] - r0[j]));
return (pnt) {L + (R-L) * th, l0[i] + (r0[i] - l0[i]) * th};
}
set <int> c;
set <int> :: iterator itr;
map <int,int> mp;
int get_cross() {
for(int i=1;i<=n;++i) {
c.insert(r0[i]);
mp[r0[i]] = i;
itr = c.find(r0[i]);
for(++itr; itr != c.end(); ++itr) {
int j = mp[*itr];
p[++p0] = crs(i, j);
}
}
return p0;
}
namespace Circle {
int b[N], dad[N];
int find(int x) {return dad[x] ? dad[x] = find(dad[x]) : x;}
int main() {
for(int i=1;i<=n;++i) b[i] = r0[i];
sort(b+1,b+n+1);
int res = 0;
for(int i=1,j,p1,p2;i<=n;++i) {
j = lower_bound(b+1,b+n+1,r0[i])-b;
if((p1 = find(i)) == (p2 = find(j))) ++res;
else dad[p1] = p2;
}
return p0 - (n - res);
}
}
namespace Extra {
double b[M+N+N];
int Q, tot;
struct LNE {
double x, y1, y2; int w;
friend inline bool operator < (const LNE&A,const LNE&B) {return A.x < B.x;}
}l[N+N];
namespace BIT {
#define lb(x) (x&(-x))
int d[M+N+N];
inline int qry(int x) {
int res = 0;
for(int i=x;i;i-=lb(i)) res += d[i];
return res;
}
inline void upd(int l, int r, int w) {
for(;l<=tot;l+=lb(l)) d[l] += w;
for(++r;r<=tot;r+=lb(r)) d[r] -= w;
}
#undef lb
}
void input() {
double x, y;
for(int i=1;i<=p0;++i) {
x = p[i].x, y = p[i].y;
p[i].x = x + y, p[i].y = x - y;
b[++tot] = p[i].y;
}
sort(p+1,p+p0+1);
int r; read(Q);
for(int i=1;i<=Q;++i) {
scanf("%lf%lf",&x,&y), read(r);
l[i+i-1].x = x + y - r - eps;
l[i+i-1].y1 = x - r - y - eps;
l[i+i-1].y2 = x - y + r + eps;
l[i+i-1].w = 1;
l[i+i].x = x + y + r + eps;
l[i+i].y1 = x - y - r - eps;
l[i+i].y2 = x + r - y + eps;
l[i+i].w = -1;
b[++tot] = x - y + r + eps;
b[++tot] = x - y - r - eps;
}
Q <<= 1;
sort(l+1,l+Q+1);
sort(b+1,b+tot+1);
int tt0 = 0; b[0] = -1e10;
for(int i=1;i<=tot;++i)
if(fabs(b[i] - b[i-1]) > eps)
b[++tt0] = b[i];
tot = tt0;
for(int i=1;i<=p0;++i) p[i].y = lower_bound(b+1,b+tot+1,p[i].y) - b;
for(int i=1;i<=Q;++i) {
l[i].y1 = lower_bound(b+1,b+tot+1,l[i].y1) - b;
l[i].y2 = lower_bound(b+1,b+tot+1,l[i].y2) - b;
}
}
int main() {
input();
int res = 0;
for(int i=1,j=1;i<=p0;++i) {
while(j <= Q and l[j].x <= p[i].x)
BIT::upd(l[j].y1, l[j].y2, l[j].w), ++j;
if(BIT::qry(p[i].y)) ++res;
}
return res;
}
}
int main() {
int A, B, C;
read(n), read(A), read(B), read(C);
read(L), read(R);
for(int i=1;i<=n;++i) read(l0[i]);
for(int i=1;i<=n;++i) read(r0[i]);
int ans1 = A * get_cross(), ans2 = ans1, exa;
ans2 += (B - A) * Circle::main();
exa = C * Extra::main();
if(ans1 > ans2) swap(ans1, ans2);
printf("%d %d\n",ans1 + exa, ans2 + exa);
return 0;
}
題解-GXOI/GZOI2019 特技飛行