• 題面描述

  • 小\(Q\)在電子工藝實習課上學習焊接電路板。一塊電路板由若幹個元件組成，我們不妨稱之為節點，並將其用數字\(1,2,3….\)進行標號。電路板的各個節點由若幹不相交的導線相連接，且對於電路板的任何兩個節點，都存在且僅存在一條通路（通路指連接兩個元件的導線序列）。在電路板上存在一個特殊的元件稱為“激發器”。當激發器工作後，產生一個激勵電流，通過導線傳向每一個它所連接的節點。而中間節點接收到激勵電流後，得到信息，並將該激勵電流傳向與它連接並且尚未接收到激勵電流的節點。最終，激烈電流將到達一些“終止節點”——接收激勵電流之後不再轉發的節點。激勵電流在導線上的傳播是需要花費時間的，對於每條邊\(e\)
    ，激勵電流通過它需要的時間為\(t_e\)，而節點接收到激勵電流後的轉發可以認為是在瞬間完成的。現在這塊電路板要求每一個“終止節點”同時得到激勵電路——即保持時態同步。由於當前的構造並不符合時態同步的要求，故需要通過改變連接線的構造。目前小\(Q\)有一個道具，使用一次該道具，可以使得激勵電流通過某條連接導線的時間增加一個單位。請問小\(Q\)最少使用多少次道具才可使得所有的“終止節點”時態同步？

• 輸入格式

  • 第一行包含一個正整數\(N\)，表示電路板中節點的個數。
  • 第二行包含一個整數\(S\)，為該電路板的激發器的編號。
  • 接下來\(N-1\)行，每行三個整數\(a , b , t\)。表示該條導線連接節點\(a\)
    與節點\(b\)，且激勵電流通過這條導線需要\(t\)個單位時間

• 輸出格式

  • 僅包含一個整數\(V\)，為小\(Q\)最少使用的道具次數。

• 題解

  • 第一次看這題時看錯題，看成了\(APIO2016煙火表演\)，然後就列出了\(f_{u,t}=\sum_{vsm_u}min_{t'\leq t}(f_{v,t'}+t-t')\)
  • 然後再看題才發現只能增加邊權，不能減少邊權，再看一眼剛列出的式子\(f_{u,t}=\sum_{vsm_u}min_{t'\leq t}(f_{v,t'}+t-t')\\\Rightarrow f_{u,t}=\sum_{vsm_u}mn_{v,t}+t\ (mn_{v,t}=min_{t'\leq t}f_{v,t'}-t')\)
  • 設\(f_v\)單調不減，\(mn_{v,t}\)固定，\(f_u\)隨 t 增長而變大，而對於葉子，\(f_{leaf,t}\)單增。
  • 由數學歸納法可知，\(f_u?\)單調增。
  • 因此這個dp方程存在理論下界，即剛好滿足條件\((t_u=max\ t_v+w_{v\to u})\)時最小。
  • 因此此題我們可以貪心，記錄\(t_u?\)表示想要讓葉子都同態至少多少時間，\(f_u?\)表示使葉子同步到\(t_u?\)這個時間最少花費。
  • 遞推即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=5e5+5;
const int MAXM=1e6+6;
int n,S;
int edge,head[MAXN],tail[MAXM],nex[MAXM],w[MAXM];
ll f[MAXN],g[MAXN];
void add(int u,int v,int W){
    edge++,nex[edge]=head[u],head[u]=edge,tail[edge]=v,w[edge]=W;
}
void dfs(int u,int p){
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (v==p) continue;
        dfs(v,u);
        g[u]=max(g[u],g[v]+w[e]);
    }
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (v==p) continue;
        f[u]+=f[v]+g[u]-(g[v]+w[e]);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&S);
    for (int i=1;i<n;i++){
        int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    dfs(S,0);
    printf("%lld\n",f[S]);
    return 0;
}

$bzoj1060-ZJOI2007$ 時態同步 貪心 樹形$dp$