矩陣，是一個好東西。

大家都知道，斐波那契數列是滿足如下性質的一個數列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 為整數)

題目描述

請你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

輸入輸出格式

輸入格式：

·第 1 行：一個整數 n

輸出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

輸入輸出樣例

5

5

10

55

說明

對於 60% 的數據： n ≤ 92

對於 100% 的數據： n在long long(INT64)範圍內。

斐波那契，基礎遞推吧。。但是數據範圍讓線性遞推望而卻步...

這時候，我們列出一個式子：

f(n)=f(n-1)+f(n-2);

f(n)=1*f(n-1)+1*f(n-2);

我們把f(n)和f(n-1):

這時發現：

於是我們只需要計算

1 1

1 0

的n-1次方就行了。

個人對於矩陣的計算方式一直很迷...看了不少博客，都沒有明白，最後自己總結了一條規律：

第一個矩陣的x行*第二個矩陣的y列，結果相加，作為結果矩陣的(x行，y列)處的數。

矩陣的快速冪：

即使是可以省去大量空間，一次一次推還是會超時...
n-1次方嘛，很容易想到卡速米這個東西。

其實和卡速米一樣，逢二平方即可。

於是上代碼（感覺各個博客，題解的馬蜂都好毒瘤啊。。）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
long long int n;
struct node
{
    long long int a[3][3];
};
node mul(node x,node y)
{
    node e;
    e.a[1][1
 
]=e.a[1][2]=e.a[2][1]=e.a[2][2]=0;//初始化矩陣全都是0；for(int i=1;i<=2;i++)
    {
        for(int j=1;j<=2;j++)
        {
            for(int k=1;k<=2;k++)
            {
                e.a[i][j]=(e.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;//呱
            }
        }
    }
    return e;
}
node ksm(node x,long long int y)
{
    node ans;
    ans.a[1][1]=1;
    ans.a[1][2]=1;
    ans.a[2][1]=0;
    ans.a[2][2]=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        ans=mul(ans,x); //這裏是要寫成賦值，我居然在這裏卡了好久
        x=mul(x,x);
        y>>=1;//據說位運算能加速然而就快了1ms。。。
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);//不開longlong見祖宗
    node e;
    e.a[1][1]=e.a[1][2]=e.a[2][1]=1;
    e.a[2][2]=0;//初始化1110矩陣
    if(n==1||n==2)//對n=1,2特判
    {
        printf("1");
        return 0;
    }
    node ans=ksm(e,n-2);//卡速米真好吃
    printf("%lld",ans.a[1][1]);
    return 0;
}

（完）

矩陣乘法（乘，遞推，快速冪）學習筆記