卡特蘭(Catalan)數入門詳解
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基本概念
介紹
學卡特蘭數我覺得可能比組合數要難一點，因為組合數可以很明確的告訴你那個公式是在幹什麼，而卡特蘭數卻像是在用大量例子來解釋什麼時卡特蘭數
這裡，我對卡特蘭數做一點自己的理解
卡特蘭數是一個在組合數學裡經常出現的一個數列，它並沒有一個具體的意義，卻是一個十分常見的數學規律
對卡特蘭數的初步理解：有一些操作，這些操作有著一定的限制，如一種運算元不能超過另外一種運算元，或者兩種操作不能有交集等，這些操作的合法操作順序的數量
為了區分組合數，這裡用\(f_n\)表示卡特蘭數的第\(n\)項
從零開始，卡特蘭數的前幾項為\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots\)
定義
遞迴定義
\(f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0}\)，其中\(n\geq 2\)
遞推關係
\(f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}\)
通項公式
\(f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}\)
經化簡後可得
\(f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
只要我們在解決問題時得到了上面的一個關係，那麼你就已經解決了這個問題，因為他們都是卡特蘭數列
實際問題
先用一個最經典的問題來幫助理解卡特蘭數
去掉了所有的掩飾，將問題直接寫出來就是
例題1
在一個\(w\times h\)的網格上，你最開始在\(\left(0,0\right)\)上，你每個單位時間可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一個時刻，你往右走的次數都不能少於往上走的次數，問走到\(\left(n,m\right),0\leq n\)有多少種不同的合法路徑。
合法路徑個數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
直接求不好，考慮求有多少種不合法路徑
路徑總數為在\(2n\)次移動中選\(n\)次向上移動，即\(C_{2n}^{n}\)
畫一下圖，我們把\(y=x+1\)這條線畫出來，發現所有的合法路徑都是不能碰到這條線的，碰到即說明是一條不合法路徑
先隨便畫一條碰到這條線的不合法路徑，所有的不合法路徑都會與這條線有至少一個交點，我們把第一個交點設為\(\left(a,a\right)\)
如圖
我們把\(\left(a,a\right)\)之後的路徑全部按照\(y=x+1\)這條線對稱過去
這樣，最後的終點就會變成\(\left(n-1,n+1\right)\)
由於所有的不合法路徑一定會與\(y=x+1\)有這麼一個交點
我們可以得出，所有不合法路徑對稱後都唯一對應著一條到\(\left(n-1,n+1\right)\)的路徑
且所有到\(\left(n-1,n+1\right)\)的一條路徑都唯一對應著一條不合法路徑（只需將其對稱回去即可）
所以不合法路徑總數是\(C_{2n}^{n-1}\)
那麼合法的路徑總數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
這是一個非常好用且重要的一個方法，其它的問題也可以用該方法解決
即找到不合法路徑唯一對應的到另一個點的路徑
如網格計數
方法
先將方法寫在前面吧
相信大家都聽過燒開水這個數學小故事吧
和學習數學一樣，轉化是基本思路，將一個問題轉化為另外一個已經解決了的問題是最重要的
01序列
你現在有\(n\)個\(0\)和\(n\)個\(1\)，問有多少個長度為\(2n\)的序列，使得序列的任意一個字首中\(1\)的個數都大於等於\(0\)的個數
例如\(n=2\)時
有\(1100,1010\)兩種合法序列
而\(1001,0101,0110,0011\)都是不合法的序列
合法的序列個數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
我們把出現一個\(1\)看做向右走一格，出現一個\(1\)看做向上走一格，那麼這個問題就和上面的例題\(1\)一模一樣了
拓展
如果是\(n\)個\(1,m\)個\(0\)呢？
不過是最後的終點變為了\(\left(n,m\right)\)罷了
如果是\(1\)的個數不能夠比\(m\)少\(k\)呢
我們只需將\(y=x+1\)這條線上下移動即可
括號匹配
你有\(n\)個左括號，\(n\)個右括號，問有多少個長度為\(2n\)的括號序列使得所有的括號都是合法的
合法的序列個數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
要使所有的括號合法，實際上就是在每一個字首中左括號的數量都不少於右括號的數量
將左括號看做\(1\)，右括號看做\(0\)，這題又和上面那題一模一樣了
進出棧問題
有一個棧，我們有\(2n\)次操作，\(n\)次進棧，\(n\)次出棧，問有多少中合法的進出棧序列
合法的序列個數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
要使序列合法，在任何一個字首中進棧次數都不能少於出棧次數\(\ldots\)
後面就不用我說了吧，和上面的問題又是一模一樣的了
312排列
一個長度為\(n\)的排列\(a\)，只要滿足\(i<j<k\)且\(a_j<a_k<a_i\)就稱這個排列為\(312\)排列
求\(n\)的全排列中不是\(312\)排列的排列個數
答案也是卡特蘭數
我們考慮\(312\)排列有什麼樣的特徵
如果考慮一個排列能否被\(1,2,3,\ldots,n-1,n\)排列用進棧出棧來表示
那麼\(312\)排列就是所有不能被表示出來的排列
那麼這個問題就被轉化成進出棧問題了
不相交弦問題
在一個圓周上分佈著 \(2n\)個點，兩兩配對，並在這兩個點之間連一條弦，要求所得的\(2n\)條弦彼此不相交的配對方案數
當\(n=4\)時，一種合法的配對方案為如圖
合法的序列個數為\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
這個問題沒有上面的問題那麼顯然，我們規定一個點為初始點，然後規定一個方向為正方向
如規定最上面那個點為初始點，逆時針方向為正方向
然後我們把一個匹配第一次遇到的點（稱為起點）旁邊寫一個左括號\((\)，一個匹配第二次遇到的點（稱為終點）旁邊寫一個右括號\()\)
如圖
看出來嗎，在規定了這樣的一個順序後，在任意一個字首中起點的個數都不能少於終點的個數
於是這又是一個卡特蘭數列了
二叉樹的構成問題
有\(n\)個點，問用這\(n\)個點最終能構成多少二叉樹
答案仍然是卡特蘭數列
這個問題不是用上面的方法，是用遞迴定義的卡特蘭數
一個二叉樹分為根節點，左子樹，右子樹
其中左子樹和右子樹也是二叉樹，左右子樹節點個數加起來等於\(n-1\)
設\(i\)個點能構成\(f_i\)個二叉樹
我們列舉左子樹有幾個點可得
\(f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+\ldots+f_{n-1}*f_{0}\)
這個和卡特蘭數列的遞迴定義是一模一樣的
凸多邊形的三角劃分
一個凸的\(n\)邊形，用直線連線他的兩個頂點使之分成多個三角形，每條直線不能相交，問一共有多少種劃分方案
答案還是卡特蘭數列
我們在凸多邊形中隨便挑兩個頂點連一條邊，這個凸多邊形就會被分成兩個小凸多邊形，由於每條直線不能相交，接下來我們就只要求這兩個小凸多邊形的劃分方案然後乘起來即可
和二叉樹的構成問題一樣，我們列舉大凸多邊形被分成的兩個小凸多邊形的大小即可
階梯的矩形劃分
一個階梯可以被若干個矩形拼出來
圖示是兩種劃分方式
像下圖是不合法的劃分方式
問，一個\(n\)階矩形有多少種矩形劃分
答案仍然是卡特蘭數列
我們考慮階梯的每個角
如圖
每個角一定是屬於不同的矩形的，我們考慮和左下角屬於一個矩形的是哪個角
這個矩形將這個梯形又分成兩個小梯形，如圖
於是我們又可以寫出遞推式了
和卡特蘭數列的遞迴式是一樣的
卡特蘭數就將這麼多吧
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