1111. 有效括號的巢狀深度

有效括號字串 定義：對於每個左括號，都能找到與之對應的右括號，反之亦然。詳情參見題末「有效括號字串」部分。

巢狀深度 depth 定義：即有效括號字串巢狀的層數，depth(A) 表示有效括號字串 A 的巢狀深度。詳情參見題末「巢狀深度」部分。

有效括號字串型別與對應的巢狀深度計算方法如下圖所示：

給你一個「有效括號字串」 seq，請你將其分成兩個不相交的有效括號字串，A 和B，並使這兩個字串的深度最小。

不相交：每個 seq[i] 只能分給 A 和 B 二者中的一個，不能既屬於 A 也屬於 B 。
A 或 B 中的元素在原字串中可以不連續。
A.length + B.length = seq.length

answer[i] = 0，seq[i] 分給 A 。
answer[i] = 1，seq[i] 分給 B 。
如果存在多個滿足要求的答案，只需返回其中任意 一個 即可。

示例 1：

　　輸入：seq = "(()())"
　　輸出：[0,1,1,1,1,0]
示例 2：

　　輸入：seq = "()(())()"
　　輸出：[0,0,0,1,1,0,1,1]
解釋：本示例答案不唯一。
按此輸出 A = "()()", B = "()()", max(depth(A), depth(B)) = 1，它們的深度最小。

方法一：用棧進行括號匹配思路及演算法

要求劃分出使得最大巢狀深度最小的分組，我們首先得知道如何計算巢狀深度。我們可以通過棧實現括號匹配來計算：

維護一個棧 s，從左至右遍歷括號字串中的每一個字元：

如果當前字元是 (，就把 ( 壓入棧中，此時這個 ( 的巢狀深度為棧的高度；

如果當前字元是 )，此時這個 ) 的巢狀深度為棧的高度，隨後再從棧中彈出一個 (。

下面給出了括號序列 (()(())()) 在每一個字元處的巢狀深度：

知道如何計算巢狀深度，問題就很簡單了：只要在遍歷過程中，我們保證棧內一半的括號屬於序列 A，一半的括號屬於序列 B，那麼就能保證拆分後最大的巢狀深度最小，是當前最大巢狀深度的一半。要實現這樣的對半分配，我們只需要把奇數層的 ( 分配給 A，偶數層的 ( 分配給 B 即可。對於上面的例子，我們將巢狀深度為 1 和 3 的所有括號 (()) 分配給 A，巢狀深度為 2 的所有括號 ()()() 分配給 B。

此外，由於在這個問題中，棧中只會存放 (，因此我們不需要維護一個真正的棧，只需要用一個變數模擬記錄棧的大小。

程式碼：

class Solution{
public:
    vector<int >maxDepthAfterSplit(string seq){
        int depth=0,len=seq.length();
        vector<int >ans;
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
             if (seq[i] == '(') {
                ans.push_back((++depth)&1);
            } else {
                ans.push_back((depth--)&1);
            }
        }
        return ans;
    }
};

複雜度分析

時間複雜度：O(n)，其中 n 為字串的長度。我們只需要遍歷括號字串一次。

空間複雜度：O(1)。除答案陣列外，我們只需要常數個變數。

方法二：找規律

思路及演算法

我們還是使用上面的例子(()(())())，但這裡我們把(和)的巢狀深度分成兩行：

有沒有發現什麼規律？

左括號 ( 的下標編號與巢狀深度的奇偶性相反，也就是說：

下標編號為奇數的 (，其巢狀深度為偶數，分配給 B；

下標編號為偶數的 (，其巢狀深度為奇數，分配給 A。

右括號 ) 的下標編號與巢狀深度的奇偶性相同，也就是說：

下標編號為奇數的 )，其巢狀深度為奇數，分配給 A；

下標編號為偶數的 )，其巢狀深度為偶數，分配給 B。

這樣以來，我們只需要根據每個位置是哪一種括號以及該位置的下標編號，就能確定將對應的對應的括號分到哪個組了。

對此規律感興趣的同學的同學可以閱讀下面的證明部分，若不感興趣，可以直接跳到程式碼部分。

證明

對於字串中的任意一個左括號 (，它的下標編號為 x，巢狀深度為 y。如果它之有 l 個左括號和 r 個右括號，那麼根據巢狀深度的定義，有：

y = l - r + 1
y=l−r+1

下標編號與 l 和 r 的關係也可以直接得到，注意下標編號從 0 開始：

x = l + r
x=l+r

由於 l - r和 l + r 同奇偶，因此 l - r + 1（即 y）和 l + r（即 x）的奇偶性相反。

對於字串中的任意一個右括號 )，它的下標編號為 x，巢狀深度為 y。如果它之有 l 個左括號和 r 個右括號，那麼根據巢狀深度的定義，有：

y = l - r
y=l−r

下標編號與 l 和 r 的關係也可以直接得到，注意下標編號從 0 開始：

x = l + r
x=l+r

因此 y 和 x 的奇偶性相同。

class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        vector<int> ans;
        for (int i = 0; i < (int)seq.size(); ++i) {
            ans.push_back(i & 1 ^ (seq[i] == '('));
        }
        return ans;
    }
};

複雜度分析

時間複雜度：O(n)，其中 n 為字串的長度。我們只需要遍歷括號字串一次。

空間複雜度：O(1)。除答案陣列外，我們只需要常數個變數。