揹包問題

問題描述：

　　給定n種物品，1個揹包，揹包容量為c,每個物品i的價值為v_i，重量為w_i，如何選擇裝入物品能使揹包的總價值最大？

　　注意：與0-1揹包問題不同，在選擇物品i裝入揹包時，可以選擇物品i的一部分，而不一定要全部裝入揹包，1<=i<=n

形式化描述：

　　給定c >0, w_i >0, v_i >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量A=(x₁,x₂,…,x_n),0<=x_i<=1【0~1表示取物品的某一部分】,1<=i<=n，使得∑ w_ix_i≤c【物品的重量和小於揹包總容量】而且∑ v_i

演算法思路：

　　將物品按照單位重量價值進行排序（從大到小），將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入揹包，若將這種物品全部裝入揹包後，揹包還有多餘容量，則選擇單位重量價值次高的並儘可能多地裝入揹包。如果最後一件物品無法全部裝入，則計算可以裝入的比例，然後按比例裝入。

程式碼實現：

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
struct item{
    int weight;
    int value;
    float pervalue;
    float
 
 rate;
};
bool cmp(const item & a, const item &b  ){
    return a.pervalue<b.pervalue;
}

int main(){
    int n;//n件物品
    float c;//揹包容量為c
    cout<<"輸入物品件數和揹包容量："<<endl;
    cin>>n>>c;
    item * items = new item[n];
    cout<<"依次輸入每件物品的價值和重量："<<endl;
    
 
float v[n],w[n];//v[n]：n件物品的價值，w[n]：n件商品的重量
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>items[i].value>>items[i].weight;
        items[i].pervalue=items[i].value/items[i].weight;//計算單位重量價值
        items[i].rate=0;//初始化每件物品的使用率
    } 
    sort(items,items+n,cmp);
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        if (c<=0)
            break;
        if (items[i].weight<=c)
        {
            items[i].rate=1;
            c-=items[i].weight;
        }else
        {
            items[i].rate=c/items[i].weight;
            c=0;
        }
    }
    for (int j = n-1; j >= 0; j--)
    {
         cout<<"重："<<items[j].weight<<"  價值："<<items[j].value<<"  被放入了揹包"<<endl<<"放入比例："<<items[j].rate<<endl; 
    } 
}