「ICPC World Finals 2019」美麗的橋樑

可以得到一個Naive的暴力方法來判斷在\((L,R)\)上修橋是否合法:

顯然的性質: 如果有相交，則一定存在一個關鍵點相交

設得到的圓半徑為\(r=\frac{x_R-x_L}{2}\)，圓心為\((x,y)=(\frac{x_L+x_R}{2},h-r)\)

列舉每個\(i\in [L,R]\)判斷是否點\(x_i,y_i\)是否相交，如果相交，只需要滿足

\(y_i>y\)，且 其與圓心距離\(>r\)

\[\ \]

考慮優化判斷，將生成的拱形分為左右兩部分，分別考慮即可

推論: 對於每個\(L\)，其左半邊不相交的半徑為描述為一個範圍\([0,A_L]\)

同理的，對於每個\(R\)也是如此，能求得一個範圍\([0,B_R]\)

考慮對於每個\(L\)，列舉每個\(i>L\) 來求出\(A_L\)

設半徑為\(r\)，列出圓心與點\(x_i,y_i\)距離的表示式，必須滿足距離\(\leq r\)，就能得到一個二次方程

二次方程的解集為\(x_1,x_2\)，但是實際上\([0,x_1]\)這一段不滿足\(y_i>y\)，因此也是合法的

即將每次求得的\([0,x_2]\)區間取交集即可

複雜度為\(O(n^2)\)

同理求得每個\(B_R\)

考慮樸素的dp，令\(dp_i\)表示解決了\([1,i]\)字首的最小代價

列舉\(j\)，\(O(1)\)

tips: 題目的代價計算方法可能沒講清楚。。。

複雜度為\(O(n^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize(2)
typedef double db;
typedef long long ll;
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
template <class T> inline void cmin(T &a,const T &b){ ((a>b)&&(a=b)); }
template <class T> inline void cmax(T &a,const T &b){ ((a<b)&&(a=b)); }

char IO;
template <class T=int> T rd(){
	T s=0; int f=0;
	while(!isdigit(IO=getchar())) if(IO=='-') f=1;
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return f?-s:s;
}

const int N=1e4+10;
const db eps=1e-9;
const ll INF=4e18;

int n,h,a,b;
int X[N],Y[N];
db L[N],R[N];
db Sqr(db x){ return x*x; }
ll dp[N];

int main(){
	n=rd(),h=rd(),a=rd(),b=rd();
	rep(i,1,n) X[i]=rd(),Y[i]=rd();
	rep(i,1,n) {
		L[i]=min((db)(X[n]-X[i])/2,(db)(h-Y[i]));
		rep(j,i+1,n) {
			if(X[j]-X[i]>L[i]+eps) break;
			db a=1,b=2*(X[i]-X[j]+Y[j]-h),c=Sqr(X[i]-X[j])+Sqr(Y[j]-h);
			db d=sqrt(b*b-4*a*c);
			db r=(-b+d)/(2*a);
			cmin(L[i],r);
		}
		L[i]*=2;
	}
	rep(i,1,n) {
		R[i]=min((db)(X[i]-X[1])/2,(db)(h-Y[i]));
		drep(j,i-1,1) {
			if(X[i]-X[j]>R[i]+eps) break;
			db a=1,b=2*(X[j]-X[i]+Y[j]-h),c=Sqr(X[j]-X[i])+Sqr(Y[j]-h);
			db d=sqrt(b*b-4*a*c);
			db r=(-b+d)/(2*a);
			cmin(R[i],r);
		}
		R[i]*=2;
	}
	dp[1]=1ll*a*(h-Y[1]);
	rep(i,2,n) {
		dp[i]=INF;
		drep(j,i-1,1) {
			if(X[i]-X[j]>R[i]+eps) break;
			if(X[i]-X[j]>L[j]+eps) continue;
			cmin(dp[i],dp[j]+1ll*a*(h-Y[i])+1ll*(X[i]-X[j])*(X[i]-X[j])*b);
		}
	}
	if(dp[n]<INF) printf("%lld\n",dp[n]);
	else puts("impossible");
}