博弈論(入門，持續更新)
博弈論(入門，持續更新)
博弈論
本篇只對尼姆博弈和巴什博弈進行介紹（其餘博弈遇到了再加進去）
定義 ：博弈論，又稱為對策論（Game Theory）、賽局理論等，既是現代數學的一個新分
支，也是運籌學的一個重要學科。博弈論 是二人在平等的對局中各自利用對方的策略變換自己的
對抗策略，達到取勝的目的。
1，巴什博弈
巴什博弈：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物， 規定每次至少取一個，最多
取m個。最後取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多隻能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都
能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現瞭如何取勝的法則：如果n=（m+1）
r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，那麼先
取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲
勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。這個遊戲還可以有一種變相的
玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。對於巴什博弈，
那麼我們規定，如果最後取光者輸，那麼又會如何呢？（n）%（m+1）==0則後手勝利
先手會重新決定策略，所以不是簡單的相反行的
例如n=15，m=3
後手 先手 剩餘
0 2 13
1 3 9
2 2 5
3 1 1
1 0 0
先手勝利 輸的人最後必定只抓走一個，如果>1個，則必定會留一個給對手
上面是百度百科的解釋，先手勝利的條件比較顯然，後手勝利的本質便是先手取任意數把原本（n）%
（m+1）==0的形式轉化為n=（m+1）r+s的形式，也就是把先手轉化為後手；原本後手變為先手；
例題：洛谷好像沒有巴什博弈的例題
從別的佬部落格裡搬運了幾道
2，尼姆博奕
有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，
最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，
0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），只要
與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）。仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局
勢，無論自己如何拿，接下來對手都可以將其變為（0，n，n）的情形。
計算機演算法裡面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號⊕表示這種運算，先看
（1，2，3）的按位模2加的結果：
1 =二進位制01
2 =二進位制10
3 =二進位制11 ⊕
———————
0 =二進位制00 （注意不進位）
對於奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a⊕b⊕c =0。
注意到異或運算的交換律和結合律，及a⊕a=0，:
a⊕b⊕(a⊕b)=(a⊕a)⊕(b⊕b)=0⊕0=0。
所以從一個非奇異局勢向一個奇異局勢轉換的方式可以是：
1）使 a = c⊕b
2）使 b = a⊕c
3）使 c = a⊕b
證明可以看一下下面這位佬的部落格 連結
Anti-Nimm game (尼姆博弈的變形,反尼姆博弈)
以這道題為例洛谷 P4279 SHOI2008小約翰的遊戲
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int t;
int a[1000];
int ans;
int n;
int sum;
int main(){
cin>>t;
while(t){
t--;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
ans=0;
sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans^=a[i];
sum+=a[i];
}
if(sum==n){
puts(sum&1?"Brother":"John");
// cout<<endl; 注意puts自帶換行
}
else{
puts(ans?"John":"Brother");
// cout<<endl;
}
}
return 0;
}
我們考慮證明
分類討論再將相同情況合併
1 當每一堆的石子數都為1時，當堆數為奇數時先手輸，否則後手輸
2 當有且有一堆石子的個數>=2其餘均為單個石子時，我們可以通過調整使下一狀態下的全為單個石
子且數量可為奇數可為偶數，故，無論是誰，遇到這個狀態其必將勝利
3 當有至少2堆的石子數>=2
顯然石子必然要在減少的過程中由3狀態變為2狀態，
因為2狀態下存在大於等於2的那堆石子，所以可知2狀態下異或和一定大於0（存在較高位）
假設我們3狀態下異或和大於0，則我們可將下一狀態的異或和變為0或者仍然大於0（證明過程和尼姆
博弈的過程相同）
假設我們3狀態下異或和等於0，我們通過取石子，只能使下一狀態的異或和大於0，
我們已知2狀態下異或和大於0，所以當我們處於狀態3且異或和大於0時，我們可以通過調整使
下一狀態的異或和等於0，但下一狀態只能讓下下狀態的異或和大於0，所以當處於第三種情況時，
若異或和大於0，那麼先手一定勝利，等於0則先手失敗。
我們進行一下總結，由於第一種情況與後兩種情況無法進行合併，所以對第一種情況進行特判定
對2.3種情況進行合併，即大於0先手一定勝利。
證明完畢
完結撒花。
其實這只是博弈論很少一部分，本題好像由sj定理可以直接做？（但我不會）
sg函式也不會（sg函式的題很少），以後遇到再學吧.我還是太菜了（真）；