如何求平方根

假如以我們人腦的思考方式去思考求8的開方，由於我們知道2的平方為4，3的平方為9，所以我們可以用2.X去猜測，由於2.9的平方大於8，2.8的平方小於8，所以十分位確定了，然後我們再去按照同樣的方式去思考下一位。這樣一點點的去求得接近8的開方值的資料，直到我們達到需要的精度，比如保留三位小數就是2.828。

那如果以機器的角度去計算呢？答案當然也是猜，只是說以某個預設值去猜測然後逐步的接近目標值，然後也是達到需要的精度就停止。

那具體如何求解呢

有一個求解方法叫做牛頓-拉弗森方法，也叫做牛頓迭代法，這個方法基於一個很好理解的定理：切線是曲線的線性逼近，具體如下圖A。

圖A

如果我們將圖A的A處放大就可以得到下圖B：

圖B

可以看到圖B的A點處的切線與曲線十分的接近，而切線是直線，是線性的，所以可以說A點處的切線是f（x）的線性逼近，也就是在A點附近的切線應該是約等於f（x）的。

那麼利用這一點直覺

對於果求a值的開方，首先我們隨便找一個近似的x值（可以直接預設為a），如果我們不斷利用（ x1，f（x1））位置的切線去逼近曲線 x^2 - a = 0 就可以去逐步接近真正的開方值，直到我們需要的精度。

那麼如何去逼近呢？

根號a是 x^2 = a 的一個正實根，而這個函式（x^2 = a ）的導數為2x，所以說函式上的點（x1，f（x1））的切線斜率都為2，所以（x1，f（x1））處的切線方程為：f（x1）+ 2(x -x1)。 所以 x - f (x) /（2x）就是一個比x更接近答案的近似值，帶入f（x）=x^2 就可以得到新的近似值 = （x + a/x）/2。

程式碼實現

class SqureRoot {
    public static double sqrt(double c) {
        if (c < 0) return Double.NaN;
        double err = 1e-15;
        double t = c;
        while (Math.abs(t - c/t) > err * t)
            t = (c/t + t) / 2.0;
        return t;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
 
　　　　System.out.printf("Squre root of %f is %f",8.0,sqrt(8));

    }
}

output：

Squre root of 8.000000 is 2.828427