【2020五校聯考NOIP #3】序列
阿新 • • 發佈：2020-10-04
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原題題號：Codeforces Gym 101821B
題意：
給出一個排列 \(p\)，要你找出一個最長上升子序列（LIS）和一個最長下降子序列（LDS），滿足它們沒有公共元素。或告知無解。
\(1 \leq n \leq 5 \times 10^5\)。
wxh 太強辣！wxhtxdy！
首先可以發現一個小性質，那就是原序列任意一個 LIS 和 LDS 至多隻有 \(1\) 個公共元素。
假設它們有 \(2\) 個公共元素 \(p_i,p_j(i<j)\)，由於 \(p_i,p_j\) 同時包含在一個 LIS 中，必有 \(p_i<p_j\)。又因為 \(p_i,p_j\)
我們預處理出 \(f_i\) 表示包含 \(p_i\) 的 LDS 個數，\(sum\) 表示總的 LDS 個數。由於這些數可能很大，我們可以將它模上一個比較大的數。
由於我們只需構造出一組合法的解，我們的目標就是檢驗是否存在一個合法的 LIS，然後順帶著找出原序列扣除掉這個 LIS 後得到的序列 \(p'\) 的一個 LDS。
我們考慮不合法的 LIS 長啥樣，假設這個 LIS 為 \([a_{x_1},a_{x_2},\dots,a_{x_l}]\)，因為它不合法，所以不存在與它沒有交集的 LDS，也就是所有 LDS 都與它有交集。
而根據之前的性質一個 LIS 和 LDS 至多隻有 \(1\)
那麼怎樣找這樣一個 LIS 呢？
先用樹狀陣列求出 LIS、LDS 的長度，以及上文提到的 \(f_i,sum\) 的值。
求 LIS 的時候結構體裡另外維護四個值 \(m_1,m_2,p_1,p_2\)，表示在滿足上升子序列的長度最大的情況下，兩個不同的 \(f_{x_1}+f_{x_2}+\dots+f_{x_l}\) 的值，以及它們對應的前驅。
如果發現存在一個 LIS 它的 \(f_{x_1}+f_{x_2}+\dots+f_{x_l} \neq sum\)，那麼直接跳出輸出就可以了。
/* Contest: - Problem: Codeforces Gym 101821 B Author: tzc_wk Time: 2020.10.4 */ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define fi first #define se second #define pb push_back #define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define foreach(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++) #define all(a) a.begin(),a.end() #define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a)) #define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a)) #define fillbig(a) memset(a,0x3f,sizeof(a)) #define y1 y1010101010101 #define y0 y0101010101010 typedef pair<int,int> pii; typedef long long ll; inline int read(){ int x=0,neg=1;char c=getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c=='-') neg=-1; c=getchar(); } while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar(); return x*neg; } const int MOD=23895631; inline void add(int &x,int v){ x+=v;if(x>=MOD) x-=MOD; } struct numway{ int val,way; numway(int _val=0,int _way=0){val=_val;way=_way;} numway operator +(numway x){ numway z=*this; if(x.val>z.val) z.val=x.val,z.way=0; if(x.val==z.val) z.way=(z.way+x.way)%MOD; return z; } }; int n=read(),a[500005]; struct bit1{ numway tr[500005]; inline void clear(){ for(int i=1;i<=n;i++) tr[i].val=tr[i].way=0; } inline void modify(int x,numway y){ for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) tr[i]=tr[i]+y; } inline numway query(int x){ numway ans(0,1); for(int i=x;i;i-=(i&(-i))) ans=ans+tr[i]; return ans; } } b1; struct bit2{ int tr[500005]; inline void clear(){ fill0(tr); } inline void modify(int x,int y){ for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) tr[i]=max(tr[i],y); } inline int query(int x){ int ans=0; for(int i=x;i;i-=(i&(-i))) ans=max(ans,tr[i]); return ans; } } b2; int lds_len=0,lis_len=0; numway lds1[500005],lds2[500005]; int f[500005]; struct event{ int val,m1,m2,p1,p2; event(int _val=0,int _m1=-1,int _m2=-1,int _p1=0,int _p2=0){ val=_val;m1=_m1;m2=_m2;p1=_p1;p2=_p2; } friend event operator +(event a,event b){ if(a.val>b.val) return a; if(a.val<b.val) return b; if(a.m1==-1) return b; else if(a.m2==-1){ if(b.m1==-1||b.m1==a.m1) a.m2=b.m2,a.p2=b.p2; else a.m2=b.m1,a.p2=b.p1; return a; } else return a; } }; struct bit3{ event tr[500005]; inline void modify(int x,event v){ for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) tr[i]=tr[i]+v; } inline event query(int x){ event ans(0,0,-1,0,0); for(int i=x;i;i-=(i&(-i))) ans=ans+tr[i]; return ans; } } b3; event lis[500005]; vector<int> ans_lis,ans_lds; bool cant[500005]; struct bit4{ pii tr[500005]; inline void modify(int x,pii v){ for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) tr[i]=max(tr[i],v); } inline pii query(int x){ pii ans=make_pair(0,0); for(int i=x;i;i-=(i&(-i))) ans=max(ans,tr[i]); return ans; } } b4; pii lls[500005]; inline void dump(int x,int y){ while(x){ ans_lis.pb(x);cant[x]=1; if(lis[x].m1==y){y=(y-f[x]+MOD)%MOD;x=lis[x].p1;} else{y=(y-f[x]+MOD)%MOD;x=lis[x].p2;} } reverse(all(ans_lis)); printf("%d\n",lis_len); foreach(it,ans_lis) printf("%d ",*it);printf("\n"); for(int i=n;i>=1;i--){ if(cant[i]) continue; lls[i]=b4.query(a[i]-1); lls[i].fi++; b4.modify(a[i],make_pair(lls[i].fi,i)); } for(int i=1;i<=n;i++){ if(lls[i].fi==lds_len){ for(int j=i;j;j=lls[j].se){ ans_lds.pb(j); } break; } } printf("%d\n",lds_len); foreach(it,ans_lds) printf("%d ",*it);printf("\n"); } int main(){ for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); b1.clear(); for(int i=1;i<=n;i++){ lds1[i]=b1.query(n-a[i]);lds1[i].val++; b1.modify(n-a[i]+1,lds1[i]);lds_len=max(lds1[i].val,lds_len); } b1.clear(); for(int i=n;i>=1;i--){ lds2[i]=b1.query(a[i]-1);lds2[i].val++; b1.modify(a[i],lds2[i]); } // for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d %d %d %d\n",lds1[i].val,lds1[i].way,lds2[i].val,lds2[i].way); for(int i=1;i<=n;i++){ if(lds1[i].val+lds2[i].val-1==lds_len){ f[i]=1ll*lds1[i].way*lds2[i].way%MOD; } // cout<<f[i]<<endl; } int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(lds1[i].val==lds_len) sum=(sum+lds1[i].way)%MOD; } // cout<<sum<<endl; for(int i=1;i<=n;i++){ int x=b2.query(a[i]-1); b2.modify(a[i],x+1); lis_len=max(lis_len,x+1); } for(int i=1;i<=n;i++){ lis[i]=b3.query(a[i]-1); lis[i].val++; if(lis[i].m1!=-1){ lis[i].m1=(lis[i].m1+f[i])%MOD; } if(lis[i].m2!=-1){ lis[i].m2=(lis[i].m2+f[i])%MOD; } // printf("%d %d %d %d %d\n",lis[i].val,lis[i].m1,lis[i].m2,lis[i].p1,lis[i].p2); if(lis[i].val==lis_len){ if(lis[i].m1!=-1&&lis[i].m1!=sum){ dump(i,lis[i].m1);return 0; } if(lis[i].m2!=-1&&lis[i].m2!=sum){ dump(i,lis[i].m2);return 0; } } b3.modify(a[i],event(lis[i].val,lis[i].m1,lis[i].m2,(lis[i].m1!=-1)?(i):(0),(lis[i].m2!=-1)?(i):(0))); } printf("IMPOSSIBLE\n"); return 0; }