題目

Farmer John likes to play mathematics games with his$\mathrm{Ncows.\; Recently,\; they\; are\; attracted\; by\; recursive\; sequences.\; In\; each\; turn,\; the\; cows\; would\; stand\; in\; a\; line,\; while\; John\; writes\; two\; positive\; numbersaandbon\; a\; blackboard.\; And\; then,\; the\; cows\; would\; say\; their\; identity\; number\; one\; by\; one.\; The\; first\; cow\; says\; the\; first\; number}$

Input

The first line of input contains an integer

Each case contains only one line with three numbers$\mathrm{N,aaandbbwhereN,a,b<2^31as\; described\; above.}$

Output

For each test case, output the number of the$\mathrm{NN-th\; cow.\; This\; number\; might\; be\; very\; large,\; so\; you\; need\; to\; output\; it\; modulo2147493647.}$

In the first case, the third number is $85 = 21+2+3^4

$\mathrm{題意}$

$\mathrm{題目給出這樣一個遞推公式：}$

$f$$\mathrm{(n)=f(n-2)*2+f(n-1)+n^\; 4}$

$\mathrm{f(1)=a,}$

$\mathrm{f(2)=b;}$

給出n,a,b求f(n)%2147493647；

根據遞推公式容易得出一個O（N)的暴力演算法。但這題的資料範圍為N,a,b<2^31 ，直接暴力肯定超時，要用O（1），O（lngn）或者是O（n^(1/2)）的演算法才有可能ac

觀察這種遞推公式，發現我們可以使用矩陣快速冪來計算，矩陣快速冪的複雜度是O（m^3 *lngn）m是矩陣的大小，複雜度很小可以一試。

矩陣快速冪是定義一個狀態矩陣和一個轉移矩陣，前一個狀態矩陣乘轉移矩陣可得到後一個狀態矩陣。

這題和普通的矩陣快速冪有點區別,這題的遞推函式在混合了一個變數n^4。

所以我們這題首先要考慮的就是，如何從n^4推出(n+1)^4，我們發現通過二項式定理可以得出，(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1

這樣就有f(n+1)=2*f(n-1)+f(n)+n^4+4n^3+6n^2+4n+1

不妨設狀態矩陣F(n-1)=[f(n-1),f(n),n^4,4n^3,6n^2,4n,1]

若F(n)=F(N-1)*A 即[f(n),f(n+1),(n+1)^4,4(n+1)^3,6(n+1)^2,4(n+1),1]=[f(n-1),f(n),n^4,4n^3,6n^2,4n,1]*A

計算得A=

{0,2,0,0,0,0,0}
{1,1,0,0,0,0,0}
{0,1,1,0,0,0,0}
{0,1,1,1,0,0,0}
{0,1,1,2,1,0,0}
{0,1,1,3,3,1,0}
{0,1,1,4,6,4,1}

AC程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=2147493647;
ll n;

void mul(ll f[7],ll a[7][7]){
    ll c[7];
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(ll j=0;j<7;j++)
        for(ll k=0;k<7;k++)
            c[j]=(c[j]+(ll)f[k]*a[k][j])%mod;
    memcpy(f,c,sizeof(c));
}

void mulself(ll a[7][7]){
    ll c[7][7];
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(ll i=0;i<7;i++)
        for(ll j=0;j<7;j++)
            for(ll k=0;k<7;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*a[k][j])%mod;
    memcpy(a,c,sizeof(c));

}


int main(){
    ll t,a,b;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
        ll f[]={a,b,16,32,24,8,1};
        ll a[][7]={
            {0,2,0,0,0,0,0},
            {1,1,0,0,0,0,0},
            {0,1,1,0,0,0,0},
            {0,1,1,1,0,0,0},
            {0,1,1,2,1,0,0},
            {0,1,1,3,3,1,0},
            {0,1,1,4,6,4,1},
        };
        n--;
        for(;n;n>>=1){
            if(n&1)mul(f,a);
            mulself(a);
        }
        printf("%lld\n",f[0]);

    }
    scanf("%lld");
}