Description

給定一個長度為 \(n\) 的排列，每次可以選擇一個子集將它 random_shuffle，並花費子集大小的代價。求將整個排列升序排序的代價期望。

Solution

對於排列 \(P\)，可以描述為一張圖，其中 \(i \to P_i\)，則這張圖一定由若干個不交的環構成。我們的任務就是要使得每個環的大小都為 \(1\)。

結論：每次操作都取一個完整的環不會使答案更劣。

顯然環的內容和解決這個環的代價期望沒有任何關係，不妨設 \(f(n)\) 表示解決一個大小為 \(n\) 的環的期望代價，那麼

展開化簡一下，得到

將 \(f(n)\) 與 \(f(n-1)\) 的式子做差，變形得到

初態 \(f(1)=0, f(2)=4\)，暴力遞推即可。

在預處理好所有 \(f(i)\) 後，我們只需要暴力找出每一個環，統計答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;
const int mod = 998244353;

int n,m,p[N],vis[N],f[N];

int qpow(int p,int q)
{
    return (q&1?p:1)*(q?qpow(p*p%mod,q/2):1)%mod;
}

int inv(int p)
{
    return qpow(p,mod-2);
}

void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]) continue;
        int x=i,cnt=0;
        do
        {
            ++cnt;
            vis[x]=1;
            x=p[x];
        }
        while(vis[x]==0);
        ans+=f[cnt];
    }
    cout<<ans%mod<<endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>m;

    f[1]=0;
    f[2]=4;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        f[i]=i*inv(i-1)%mod*(f[i-1]+1)%mod;
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}