題目：最大子列和問題

問題描述：

給定K個整陣列成的序列{N​1​​,N​2​​, ...,N​K​​ }，“連續子列”被定義為{N​i​​,N​i+1​​, ...,N​j​​ }，其中1≤i≤j≤K。“最大子列和”則被定義為所有連續子列元素的和中最大者。例如給定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其連續子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。現要求你編寫程式，計算給定整數序列的最大子列和。

本題旨在測試各種不同的演算法在各種資料情況下的表現。各組測試資料特點如下：

• 資料1：與樣例等價，測試基本正確性；
• 資料2：10²個隨機整數；
• 資料3：10³個隨機整數；
• 資料4：10⁴
  個隨機整數；
• 資料5：10⁵個隨機整數；

輸入格式：

輸入第1行給出正整數K (≤100000)；第2行給出K個整數，其間以空格分隔。

輸出格式:

在一行中輸出最大子列和。如果序列中所有整數皆為負數，則輸出0。

輸入樣例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

輸出樣例:


20

演算法描述：


#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubSum(int* a, int left,int right )
{
    int sum=0;
    if(left==right)
    {
        sum=a[left]>0?a[left]:0
 
;
    }
    else
    {
        int mid=(left+right)/2;
        int leftsum=MaxSubSum(a,left,mid);
        int rightsum=MaxSubSum(a,mid+1,right);
        int sum1=0;
        int lefts=0;
        for(int i=mid;i>=left;i--)
        {
            lefts +=a[i];
            if(lefts>sum1)
               sum1
 
=lefts;
        }
        int sum2=0;
        int rights=0;
        for(int i=mid+1;i<=right;i++)
        {
            rights +=a[i];
            if(rights>sum2)
               sum2=rights;
        }
        sum=sum1+sum2;
        if(sum<leftsum)
          sum=leftsum;
        if(sum<rightsum)
          sum=rightsum;
    }
    return sum;
    
}
int main()
{
    int n,a[100000];
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
       cin>>a[i];
    cout<<MaxSubSum(a,0,n-1);
    return 0;
}

Tips：

從一開始考慮，我們也許會想到暴力解法：即用兩層迴圈列舉起點和終點，這樣就嘗試了所有的子序列，然後計算每個子序列的和，然後找到其中最大的即可。但此演算法複雜度為O（N^3），效率低。

根據暴力解法我們可以進行一個小的優化：如果我們有這樣一個數組sum，sum[i]表示第1個到第i個數的和。那麼我們就可以用sum[j] - sum[i-1]快速計算第i個到第j個這個序列的和。這樣的話，我們省掉最內層的迴圈，演算法複雜度便到了O(N^2)，大大提高了效率。

但是老師提出了一個可以更加優化的想法：利用分治法進行劃分。分為左半序列、右半序列、中間序列，簡單分析如下：

首先，我們可以把整個序列平均分成左右兩部分，答案則會在以下三種情況中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列剛好橫跨分割點，即中間序列部分。

我們只要計算出：以分割點為起點向左的最大連續序列和、以分割點為起點向右的最大連續序列和，這兩個結果的和就是第三種情況的答案。因為已知起點，所以這兩個結果都能在O(N)的時間複雜度能算出來。

遞迴不斷減小問題的規模，直到序列長度為1的時候，答案就出來了。

演算法時間及空間複雜度分析：

這個演算法的時間複雜度是O（NlogN），T（N)=2*T（N/2）+O（N）根據主定理得出最終結果是O（NlogN）。T（N/2）是將問題分成左右兩邊兩個一樣的問題，得到左右兩邊的遞迴結果，規模變成N/2。O（N)是得到跨邊界最大子列和，左右掃描，每一個數都被掃描了一次，所以時間複雜度是O（N）

空間複雜度O（1），因為用到了一個確定的陣列。

心得體會：

上機實踐通過老師提供思路和想法，自己和同伴進行程式碼的編寫。其實還是有那麼一點點困難的。但是在兩個人的努力下和老師的講解下，慢慢理解開啟思路，就感覺輕鬆了很多。分治法的思想是需要我們在編寫程式碼的過程中慢慢培養的，希望自己在學習的過程中不斷培養演算法的多種優化思想，能夠逐漸在編寫過程中開拓自己的思維思路。