第三章第五節-相似、仿射、射影變換
阿新 • • 發佈：2020-10-10
引言：
除了歐式變換，空間中還有其他的變換，只不過歐式變換是最簡單的變換，他不改變物體的形狀，而其他的變換則會改變物體的外形。和歐式變換相似，其他變換均有類似的矩陣表示。
一、相似變換
變換性質： 相似變換在歐式變換的基礎上多了一個自由度，為7自由度，允許物體進行均勻縮放。
相似變換矩陣
T
S
{T_S}
TS：
T
S
=
[
s
R
t
0
T
1
]
{T_S} = \left[ {\begin{matrix} {sR}&t\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
TS=[sR0Tt1]
其中 s s s為縮放因子，三維相似變換矩陣的集合叫做相似變換群
二、仿射變換
變換性質 ：具有12自由度，也稱作正交投影。
一個焦距為無窮遠的相機，真實世界到該相機相片的投影就是仿射變換。仿射變換後，只能保證平行的線仍然平行。
仿射變換矩陣：
T
A
=
[
A
t
0
T
1
]
{T_A} = \left[ {\begin{matrix} A&t\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
TA=[A0Tt1]
其中仿射變化只要求 A A A是可逆矩陣，而不要求其為正交矩陣。
三、射影變換
變換性質 ：射影變換是最一般的變換，具有15個自由度
射影變換矩陣：
T P = [ A t a T v ] {T_P} = \left[ {\begin{matrix} A&t\\ {{a^T}}&v \end{matrix}} \right] TP=[AaTtv]