高代線性空間感想
作為線代上已經出現過的章節，我本來以為能輕輕鬆鬆就過了，沒想到高代還是給了我不少驚喜啊。本章從對映的角度定義二元代數運算，之後用藉助二元代數運算定義的加法，純量乘法等來定義線性空間，顯得邏輯十分嚴謹。在環論中便提到了，嚴謹的數學證明必不可少，包括0元唯一，負元唯一…。線性空間最重要的便是線性二字，其中加法結合律保證了這一點。之後便是與線性空間一樣，介紹了線性相關，線性無關，極大線性無關租，向量組的秩（這些是必要的，因為對線性空間的結構研究中，維度是必不可少的一部分，這直接關係到這個線性空間是否與其他線性空間同構)。但高代畢竟是高代，在這裡引入了一個關於任何線性空間都有基的證明。在基變換與座標變換中，本書在後面的章節提到構造了一個V到V丿的同構對映，我們只需要追蹤其基到變化，我們就可以瞭解到整個線性空間的變化，因為任意一個向量在原空間中都可被基表出，由於同構對映保加法到性質，我們兩邊同時作用一個同構對映，得到的形式不變。（但要注意這個地方作用同構對映後，基的一邊不一定是極大線性無關組了。）之後類比集合，類比了子空間的交（交集)，和（並集），直和（內部元素的合併）。在此處，定義的直和並非無用，若在N維線性空間V中任取X個不相等的N-1維子空間，他們的和永遠不可能等於V，因為本來一個N維空間便是由無窮個N-1維空間的和構成（這個無窮的和其實很有意思，具體檢視昨天周先生與我的討論，圖我放在下面）。但直和只要X＞＝2即可，因為它本來就是基的合併。在本章的最後，提到了商空間，商空間個人感覺就是單獨抽出了線性空間的一或幾個基單獨研究其對整體的作用，畢竟rank等都是將線性空間作為一個整體進行研究，而商空間則是研究其具體組成的部分。