ch3.詞法分析（1）——有窮自動機（續）

NFA存在的問題

  1、開始狀態不確定：開始狀態可能有數個，無法確定該從哪一個狀態開始
  2、狀態轉換不確定：接收一個輸入，可能會使得狀態轉移到多個狀態中的一個
  3、 ϵ \epsilon ϵ（空弧）帶來的不確定性：有些狀態之間的轉換關係是 ϵ \epsilon ϵ，即沒有輸入也能進行狀態轉換。在此情形下，狀態也是不確定的

NFA到DFA的轉換

  基本思想：從原本的狀態間的轉換關係，通過構造集合的方法，轉變為狀態子集之間的轉換關係。
  形象地講，假設A要去P、Q、R三個地點中的一個，那麼就可以類比狀態轉換圖中的，同一個輸入對應3種可能到達的狀態，這顯然是NFA的。但如果將P、Q、R合併為S={P、Q、R}，那麼就可以認為A只到達S地點

  轉換的方法包括子集法和造表法

  為了解決NFA存在的問題1和問題3，引入 ϵ \epsilon ϵ閉包的定義：

ϵ \epsilon ϵ閉包

  符號表示：狀態子集 I I I的 ϵ \epsilon ϵ閉包記做 ϵ − C L O S U R E ( I ) \epsilon-\mathrm{CLOSURE}(I) ϵ−CLOSURE(I)（為了方便記錄，之後記做 ϵ − I \epsilon-I ϵ−I）

   ϵ − I \epsilon-I ϵ−I的計算方式：對於每個狀態 a ∈ I a\in I a∈I，都從 a a a出發，不斷地通過 ϵ \epsilon ϵ邊去搜索能夠到達的其他狀態，並將所有搜尋到的其他狀態加入到 I I

  解決NFA的開始狀態不唯一這一問題的方法：求 Q 0 Q_0 Q0​的 ϵ \epsilon ϵ閉包，使其包括因空弧而可能成為開始狀態的狀態，從而使得開始狀態是唯一的

  至此，問題1和問題3得到解決，對於剩下的問題2，引入 I a I_a Ia​子集：

I a I_a Ia​子集

  定義：若將從狀態集 I I I中的任一狀態出發，經過一條a弧（跳過 ϵ \epsilon ϵ弧），能夠到達的狀態的集合稱為 J J J，則 I a = ϵ − C L O S U R E ( J ) I_a=\epsilon-\mathrm{CLOSURE}(J)

  例如，在圖1中， I 1 = { 5 , 4 , 6 , 2 , 7 } I_1=\{5,\ 4,\ 6,\ 2,\ 7\} I1​={5,4,6,2,7}

  將子集的{}改為[]，用於表示整體——整體間的轉換關係

  子集法可行的原因：重點在於能否識別符號串，而不在乎是在哪個狀態下識別

轉換舉例

  現有如圖2所示的NFA狀態轉換圖，目標是將其轉換為DFA

  首先開始狀態為S，求其 ϵ \epsilon ϵ閉包 ϵ − S \epsilon-S ϵ−S得到{S, A, C, B}，將其記為 q 0 q_0 q0​，隨後對 q 0 q_0 q0​求 I a I_a Ia​，得{A, B, C, D}，記為 q 1 q_1 q1​。求 I b I_b Ib​得{A, B, C, Z}，記為 q 2 q_2 q2​

  因為還未對{A, B, C, D}和{A, B, C, A}求 I a I_a Ia​和 I b I_b Ib​，所以分別對它們進行同樣的操作，直到最後沒有新的狀態集產生。這樣得到的狀態集之間滿足DFA：對於某一狀態時的單一輸入，到達的狀態唯一

DFA最小化

  關鍵在於尋找等價狀態

  狀態p和q是等價狀態的定義為：從DFA出發的某個狀態p匯出的符號串集合，與由狀態q匯出的符號串集合相等

  通過不斷地對集合進行劃分，以此尋找等價關係

  首先根據開始狀態和終止狀態，將集合劃分為兩個。隨後分別分析兩個集合中的各個元素，在獲取不同輸入時，到達的狀態是否是在同一個集合中，如果不是，則將其繼續劃分拆開。直到最後無法再進行劃分拆開時，即得到了各等價集合，隨後即可對其進行合併

  例如，對於圖3而言，集合劃分的結果為{F}，{G}，{H}，{I, J}，因此，I和J可以合併，合併結果如圖4所示：

正規文法與有窮自動機

  正規語言：在構成上，具有規律的語言
  有窮自動機，正規語言和正規表示式可以互相轉換

  對於右線性的文法G[S]，可以從語法樹的根結點出發，對其構造DFA：A，步驟為：
  1、令G的終結符號集為A的字母表
  2、G的非終結符號作為A的狀態，G的開始符號為A的開始狀態
  3、增加一個終止狀態Z（Z不是非終結符）
  4、形如U → \rightarrow →aW的規則，引一條從狀態U到W的a弧
  5、形如U → \rightarrow →a的規則，引一條從狀態U到終止狀態Z的標記為a的弧

  對於左線性的文法G[S]，方法與右線性時相似，只不過是從根結點出發，並且新增一個開始狀態：
  1、令G的終結符號集為A的字母表
  2、G的非終結符號作為A的狀態，G的開始符號為A的終止狀態
  3、增加一個開始狀態S（S不是非終結符）
  4、形如U → \rightarrow →Wa的規則，引一條從狀態W到U的a弧
  5、形如U → \rightarrow →a的規則，引一條從開始狀態S到狀態U的標記為a的弧

  從FA到正規文法：與正規文法到FA類似，只不過是其逆過程。注意對於 U → ϵ U\rightarrow \epsilon U→ϵ的產生式，可以進行簡化：將其刪除，並對其他產生式中含有U的部分進行相應的修改