題目：

最大子列和問題

問題描述：

給定K個整陣列成的序列{N​1​​,N​2​​, ...,N​K​​}，“連續子列”被定義為{N​i​​,N​i+1​​, ...,N​j​​}，其中1≤i≤j≤K。“最大子列和”則被定義為所有連續子列元素的和中最大者。例如給定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其連續子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。現要求你編寫程式，計算給定整數序列的最大子列和。

本題旨在測試各種不同的演算法在各種資料情況下的表現。各組測試資料特點如下：

• 資料1：與樣例等價，測試基本正確性；
• 資料2：102個隨機整數；
• 資料3：103個隨機整數；
• 資料4：104個隨機整數；
• 資料5：105個隨機整數；

輸入格式:

輸入第1行給出正整數K(≤100000)；第2行給出K個整數，其間以空格分隔。

輸出格式:

在一行中輸出最大子列和。如果序列中所有整數皆為負數，則輸出0。

輸入樣例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

輸出樣例:

20

演算法描述：

本題採用分治法的思想，將原問題一分為二，分別求取左子列和右子列的最大子列和，另外，還有一種比較特殊的情況，就是可能所求的子列橫跨中間元素，這種情況要單獨拿出來討論。

最後比較三者的值，返回其最大值。

演算法時間及空間複雜度分析：

 1 #include <iostream>
 2  using namespace
 
 std;
 3  
 4  void input(int a[],int num)
 5  {
 6      for(int i=0;i<num;i++)
 7      cin >> a[i];
 8  }
 9  
10  int compare(int lmax,int rmax,int mmax)
11  {
12      int max=0;
13      if(lmax>=rmax && lmax>=mmax) max=lmax;
14      else if(rmax>=lmax && rmax>=mmax) max=rmax;
 
15      else max=mmax;
16      return max;
17  }
18  
19  int maxsum(int a[], int left, int right)
20  {
21      //if(left>right) return 0;
22      if(left==right)
23      {
24          if(a[left]>0) return a[left];
25          else return 0;
26      }
27      int mid=(left+right)/2;
28      int lmax=maxsum(a,left,mid);
29      int rmax=maxsum(a,mid+1,right);
30      int lmmax=0;
31      int lsum=0;
32      for(int i=mid;i>=left;i--)
33      {
34          lsum+=a[i];
35         if(lsum>lmmax) lmmax=lsum; 
36      }
37      int rmmax=0;
38      int rsum=0;
39      for(int i=mid+1;i<=right;i++)
40      {
41          rsum+=a[i];
42         if(rsum>rmmax) rmmax=rsum; 
43      }
44      
45      int mmax=lmmax+rmmax;
46      return compare(lmax,rmax,mmax);
47  }
48  
49  int main()
50  {
51      int num;
52      cin >> num;
53      int *a=new int[num+1];
54      input(a,num);
55      cout << maxsum(a,0,num-1);
56      delete []a;
57      return 0;
58  }

時間複雜度：該演算法的時間分為分治求左右子列和與跨越中間元素的子列的和。其中，分治的問題規模為原問題的一半，則時間複雜度為2T（n/2）,後者從中間元素出發，分別掃描左右兩邊的數，故時間複雜度為O（n）.根據主定理T（n）=2T（n/2）+O（n）=O（n log n）。

空間複雜度：該演算法只用到了輔助變數，故空間複雜度為O（1）。

心得體會：

我覺得分治法的難點在於找到問題規模最小到能求解的情況，並且在寫遞迴函式的時候很容易繞暈。通過本題的練習，更加清晰地理解了分治法的思想。另外，與同伴的結對程式設計小籠包有所提高。