《深入理解計算機系統》學習筆記（二）
２.２無符號數的編碼
　　假設對於一個w位的無符號整數，用二進位制位元位可以表示為[xw-1 , xw-2 , … , x0]。那麼我們可以用一個函式表示如下：

　　每個位Ｘｉ都取值為０或１，後一種取值意味著數值２＊ｉ應為數字值的一部分。我們看下面的例子。

　　　那麼很顯然，對於一個無符號編碼的數，由 w 位的二進位制序列構成，那麼它的最小值，即所有位都為 0 ,用位向量表示即：【000…000】。
　　　UMinw = 0
最大值即所有位都為 1，用位向量表示即：【111…111】
　　　UMaxw = 1 * (1-2w) / 1 - 2 = 2w - 1
　　我們可以得出一個結論：無符號的二進位制，對於任意一個w位的二進位制序列，都存在唯一一個整數介於0 到 2w-1之間，與這個二進位制序列對應。反過來，在0 到 2w-1之間的每一個整數，存在唯一的二進位制序列與其對應。

　　
上圖中,我們用長度為2*i的指向右箭頭的條表示每個位的位置i。每個位向量對應的數值就等於所有值為1的位對應的條的長度之和。可以發現1，2，3，8可以組成十以內的任意數。
　　二進位制 ：0101 => 0001+0100 即十進位制： 5=1+4

2.3 補碼編碼
　　對於許多應用，我們還希望表示負數值。最常見的有符號數的計算機表示方式就是補碼(two’s-complement)形式。在這個定義中，將字的最高有效位解釋為負權( negativeweight)。我們用函式B2Tw(Binary to Two’s-complement的縮寫，長度為w)來表示:
　　對向量：[xw-1 , xw-2 , … , x0]

　　其中最高有效位 xw-1 也稱為符號位，符號位為 1 時表示負數，當設定為 0 時，表示非負數。我們看下面的例子。
　　
那麼我們可以得出：當最高位為1，其餘為全部是 0 的時候，即【1000…000】，表示補碼格式的最小值：
　　　　TMinw = -2w-1
　當最高位為 0，其餘為全部是 1 時，即【0111…111】，表示補碼格式的最大值：
　　　　TMaxw = 1 * (1 - 2w-1) / 1 - 2 = 2w-1-1
　　通過上面的兩個公式，我們就很好理解為什麼上面C語言資料型別負數的範圍要比正數的範圍大1。
　　和上面無符號編碼一樣，我們對於補碼格式編碼也可以得到一個結論：
　　對於任意一個w位的二進位制序列，都存在唯一一個介於-2w-1 到 2w-1-1的整數，與這個二進位制序列對應。反過來，對於任意介於-2w-1 到 2w-1-1的整數，存在唯一的長度為w二進位制序列與其對應。
　　那麼你就應該明白了為什麼十進位制 -1，在計算機中二進位制表示為 1111 1111，而不是1000 0001，因為計算機是以補碼的形式表示的。
　　大家看這張圖是不是特別有意思：
　　有符號數的其他表示方法：
*反碼和原碼
　　反碼定義：除了最高有效位的權是-2w-1-1，而不是-2w-1其餘的和補碼錶示方式一樣
　　原碼定義：最高有效位是符號位，用來確定剩下的位是正還是負。　
　　我們可以和補碼的定義進行對比：　
　　原碼：一個整數，按照絕對值大小轉換為二進位制數，最高位為符號位。
　　反碼：將原碼除最高位(符號位)外，其餘各位按位取反，所得到的二進位制碼。正數的反碼為原碼。
　　補碼：反碼最低位加1即為補碼。
　　對於正整數，原碼、反碼、補碼完全一樣，即符號位固定為0，數值位相同。
　　對於負整數，原碼和補碼互相轉換的簡便方法：從數的右邊往左開始數,遇到“0”不理它,直到遇到第一個“1”為止,以後的每一位數取反即是它的原碼或補碼,符號位不變,還是“1”（補碼的補碼是原碼）。
　　比如：11010100 ----- 從右往左數,第一位是0,不理它,第二位還是0不理它,第三位是1,那麼從此以後的每位取反,即為它的補碼了.答案為：10101100
　　事實上，程式設計師如果希望程式碼具有最大的可移植性，能夠在所有可能的機器上執行，就應該用補碼的形式來表示有符號整數。雖然過去生產過基於反碼錶示的機器，但是幾乎所有的現代機器都是使用補碼。
　　注意：浮點數有使用原碼編碼。
　　關於整型資料型別的表示和取值範圍，Java標準是非常明確的，它要求採用補碼形式，取值範圍和C語言在64位機器中的情況一樣。在Java中，單位元組資料型別稱為 byte，而不是char,而且沒有long long 資料型別。這些具體的要求都是為了保證無論在什麼機器上，Java程式執行的表現都能完全一樣。