濾波相關學習
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濾波
為什麼叫做濾波？
濾波一詞來源於通訊理論，它是從含有干擾的接收訊號中提取有用訊號的一種技術。“接收訊號”相當於被觀測的隨機過程，“有用訊號”相當於被估計的隨機過程。
來自百度百科。
這個說法確實很形象，將有用的資訊從一堆混在的訊號中提取出來。
我們的現實世界確實充滿著不確定性，沒人能精準、完全的描述某種狀態。對於想讓機器智慧的完成人類的任務的設計者來說，要重視這種不確定性，正面不確定性，並且能量化不確定性，能抓住主要矛盾，從而更精確的還原環境和自身的狀態。
不確定性包含很多，如所處環境的不確定性，你不確定什麼時候會冒出一個人，不確定路上是否有坑；感測器在測量的時候，由於自己的物理極限，也同樣有侷限，如觀察不全面，觀察有誤差，比如攝像頭，觀察不了後面的，觀察的東西有畸變，觀察的解析度有限等；控制機構也存在不確定性，如磨損造成的不精密，打滑等等；還有模型的不確定性，我們用於計算的物理模型，比真實的簡陋，有些元素未被考慮，導致出現偏差。
我們要讓機器在這麼多不確定性中，可靠的完成任務，需要嚴謹的數學知識，來可靠的描述這種不確定性到底有多大，找到方法，來獲得背後隱藏的真實狀態。
在描述這些不確定性，概率、統計相關的知識就很重要了。
這下面的濾波知識，是按照《概率機器人》的順序描述的，不是完全搬運，是自己的理解的記錄。
http://www.probabilistic-robotics.org/
基本概念
狀態
狀態轉移概率
測量概率
置信度
貝葉斯濾波
是一種遞迴的濾波方法：當前時刻的狀態，由上一時刻的狀態，結合當前的控制動作，可以推算出來一個先驗的分佈（因為有不確定性，所以是一個分佈，而不是確切的某個量）；而當前的測量儀器會給出當前觀測的資料，利用這個觀測的資料，來修正上面預測的分佈。如此迴圈，一直遞迴下去。
上面的兩個階段，一個叫做預測，另一個叫做測量更新。其本質上是這兩個資料的加權和得到最終的分佈。
公式上描述是：
預測的依據是什麼？
上面的p(
x
t
x_t
xt|
u
t
u_t
ut
從最簡單的例子來看：一個機器人沿著直線行走，其狀態就是一個位置
p
x
p_x
px，如果施加一個推力，就有90%的可能向前走1m，5%的概率，向後走1米（很詭異），5%的概率不動。如果不施加任何力量，則95%不動，5%向前0.2m，5%向後0.2m。
現在，假設機器人的位置
p
x
p_x
px=3，這個是量出來的精確的值。此時推了它一把，現在機器人在哪裡？
很明顯，大家不會說它一定在
p
x
p_x
px=4，而是會說，它90%的可能性是在4，還有5%的可能性在3.8m,還有5%的可能性是在3m處沒變。
這個就是p(
x
t
x_t
xt|
u
t
u_t
ut,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1)的具體表現，數學上是這樣：
p(
x
t
x_t
xt=3|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)=5%
p(
x
t
x_t
xt=3.8|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)=5%
p(
x
t
x_t
xt=4|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)=90%
所以預測的依據就是我們的狀態轉移的規律，也就是p(
x
t
x_t
xt|
u
t
u_t
ut,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1) 這個狀態轉移概率。為何說概率，是因為不是一定確定性的轉移到某種狀態，而是有可能轉移到不同狀態，轉到不同狀態的概率不同，這個不同，就來自於我們的狀態轉移規律。
這個規律怎麼來的？這個規律就是我們的運動方程，是我們已經研究清楚的某種運動規律。後面還會有專門的介紹運動模型的內容。
我們再看看上面的公式：
∫
\int
∫p(
x
t
x_t
xt|
u
t
u_t
ut,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1)d
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1，這個意思是，將所有的
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1的狀態都進行轉移，然後累計。
比如，上面的
p
x
t
−
1
px_{t-1}
pxt−1並不是精確的等於3，而是一個分佈，比如說：
p
x
t
−
1
px_{t-1}
pxt−1有90%的概率是3，5%的概率是2，5%的概率是4，這時候，我們再來計算一下，展開那個積分號（其實不嚴謹，這個例子是離散的
∑
\sum
∑，但積分號本身就是sum的首字母的變體，本質就是求和）。
p(
x
t
x_t
xt=3|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)
=p(
x
t
x_t
xt=3|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)*p(
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=3)
+p(
x
t
x_t
xt=3|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=2)*p(
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=2)
+p(
x
t
x_t
xt=3|
u
t
u_t
ut=push,
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=4)*p(
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1=4)
=5%*90% （在3m處的概率，乘上推了不動的概率）
+90%*5%
+5%*5%
=9.25%
其他的t時刻的狀態計算也如上所示。
上面舉的例子是離散的，但實際上，我們的很多狀態分佈是連續的，就以上面的例子來說，位置可以取機器人所在的一維空間的任意地點的數值，實際上也是連續的。
不管離散還是連續的，求和的本質不變，貝葉斯全概率的公式不變，基本的邏輯不變。
說完了預測，那更新又是什麼情況 ?
地一個問題就是：p(
z
t
z_t
zt|
x
t
x_t
xt)這個怎麼來的？
這個其實就是我們的觀測模型了，描述瞭如何從狀態得到觀測值的。注意，這裡同樣也是概率分佈，是因為，真實的狀態對我們是不可知的，我們所做的也只是儘量逼近真實狀態而已。所以，對於某個真實狀態，我們可能會觀測到不同的觀測值。比如，假設給了上面的機器人一個鐳射測距儀，讓它自己測量到零點的距離。本來真實距離是1m的，由於上面說的不確定性中感測器的侷限，可能會測出0.9m,0.8m,1m,1.1m,1.2m等等，所以，由真實值獲取的測量值，也是一個分佈，如：
p(z=0.9|x=1)=0.9
p(z=0.8|x=1)=0.1
…
p(z=1.2|x=1)=0.1
這個和時間一般沒有關係，所以去掉了t。
在量程範圍內，和具體的距離也沒有關係，分佈會呈現均值為真值，方差在一定範圍內的情況。
所以，p( z t z_t zt| x t x_t xt) 這個是我們的先驗來的，是我們預先知道的，如果用了某個廠家的裝置，一般會標註出來方差。
高斯濾波
為什麼叫做高斯濾波？
因為假設狀態分佈都是高斯分佈的，單峰值的，符合我們對世界的認知。比如，當前在哪裡，真值肯定只有一個，這個就是峰值，也是均值所在。
但是計算過程是否一定就是符合這種單峰的分佈，卻不一定。因為當你在一個完全對稱的走廊的時候，你看到一扇門，你是完全估計不出來你在哪裡的，這時候，就是大部分的概率平均分佈在有門的地方，就不止一個峰了。（少部分在沒門的地方，因為可能會看錯）。
卡爾曼濾波
卡爾曼濾波，思想跟上面的貝葉斯濾波是一樣的，用狀態轉移概率來預測，用觀測資料來更新。