2014南京航天航空大學820自動控制原理第七題
(1)
對原始進行
Z
Z
Z變換
Z
[
y
(
k
+
1
)
]
=
z
Y
(
z
)
−
z
y
(
0
)
=
z
Y
(
z
)
Z[y(k+1)]=zY(z)-zy(0)=zY(z)
Z[y(k+1)]=zY(z)−zy(0)=zY(z)
離散系統的傳遞函式模型為
Y
(
z
)
U
(
z
)
=
1.5
z
+
0.5
\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1.5}{z+0.5}
U(z)Y(z)=z+0.51.5
(2)
系統輸出為
Y
(
z
)
=
1.5
z
(
z
+
0.5
)
(
z
−
1
)
Y(z)=\frac{1.5z}{(z+0.5)(z-1)}
留數法
c
(
n
T
)
=
Res
[
C
(
z
)
z
n
−
1
]
z
→
1
+
Res
[
C
(
z
)
z
n
−
1
]
z
→
−
0.5
=
1
−
(
−
1
)
n
−
1
0.
5
n
\begin{aligned} c(nT)&=\text{Res}[C(z)z^{n-1}]_{z\rarr1}+\text{Res}[C(z)z^{n-1}]_{z\rarr-0.5}\\ &=1-(-1)^{n-1}0.5^n \end{aligned}
c(nT)=Res[C(z)zn−1]z→1+Res[C(z)z
動態序列前5項為
c
(
0
)
=
0
,
c
(
1
)
=
1.5
,
c
(
2
)
=
0.75
,
c
(
3
)
=
1.125
,
c
(
4
)
=
0.9375
c(0)=0,\quad c(1)=1.5,\quad c(2)=0.75,\quad c(3)=1.125,\quad c(4)=0.9375
c(0)=0,c(1)=1.5,c(2)=0.75,c(3)=1.125,c(4)=0.9375
(3)
該系統的在
Z
Z
Z平面的負實軸上有一個極點，由
z
=
e
T
s
=
e
σ
+
j
ω
T
∣
z
∣
=
e
σ
T
∠
z
=
ω
T
z=e^{Ts}=e^{\sigma+j\omega T} \\ |z|=e^{\sigma T} \\ ∠z=\omega T
解得
s
=
−
0.693
s=-0.693
s=−0.693
在
S
S
S平面存在一對共軛複數極點
s
1
,
2
=
−
0.693
±
j
π
s_{1,2}=-0.693\pm j\pi
s1,2=−0.693±jπ，所以該一階離散系統的輸出呈現欠阻尼振盪響應特性。