補充知識：

正定矩陣

奇異矩陣

嚴格對角佔優

要理解Gauss消去法，首先來看一個例子：

從上例子可以看出，高斯消去法實際上就是我們初中學的階二元一次方程組，只不過那裡的未知數個數$n=2$

$n>2$時，Gauss消去法的思路實際上和解二元一次方程組是一樣的，方法如下：

• 將n方程組中的n−1個方程通過消元，形成一個與原方程組等價的一個新方程組，新方程組中的n−1個方程僅包含n−1個未知數。
• 故問題就轉化為了求解n−1元的方程組，這樣我們可以繼續消元，以次類推，直到最後一個方程組為一元一次方程組
• 從最後一個一元一次方程組求解出最後一個未知量，然後逐步回代入之前的方程組，從而得到所有的未知數。
• 我們可以看到Gauss實際上就分為兩步：消去和回代

下面通過一般化得到Gauss消元法的求解過程

以上就是Gauss消去法的基本步驟，我們再回過頭看看有沒有什麼問題？

我們在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$時，如果分母很小，即：

$l_{ik}\rightarrow \infty$，那麼

總結一下，能否使用Gauss消元法的情況

為了解決這個問題，我們可以使用列主元Gauss消元法。

參考了一些網上的程式碼，這裡給出Gauss的Java實現

package peterxiazhe;

import java.util.Scanner;

public class Gauss {
  /**
   * 列主元高斯消去法
   */
  static double A[][];
  static double b[];
  static double x[];
  
  static int n;  //n表示未知數的個數
  static int n_2;  //記錄換行的次數
  
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("--------------輸入方程組未知數的個數---------------");
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    n = sc.nextInt();
    
    A = new double[n][n];
    b = new double[n];
    x = new double[n];
    
    System.out.println("--------------輸入方程組的係數矩陣A:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        A[i][j] = sc.nextDouble();
      }
    }
    
    System.out.println("--------------輸入方程組的常量向量b:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = sc.nextDouble();
      }
    
    Elimination();
    BackSubstitution();
    PrintRoot();
  }
  
  
  //消元法
  public static void Elimination() {
    PrintA();
    for(int k = 0; k < n; k++) {
      WrapRow(k);
      for(int i = k+1; i < n; i++) {
        double l = A[i][k] / A[k][k];
        A[i][k] = 0;
        
        for(int j = k+1; j < n; j++) {
          A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j];
        }
        b[i] = b[i] - l * b[k];
      }
      //System.out.println("第" + k + "次消元后:");
      //PrintA();
    }
  }
  
  //回代法
  public static void  BackSubstitution() {
    x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1];
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
      x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i];
    }
  }
  
  public static double solve(int i) {
    double result = 0.0;
    for(int j = i; j < n; j++)
      result += A[i][j] * x[j];
    return result;
  }
  
  
  //輸出方程組的根
  public static void PrintRoot() {
    System.out.println("--------------方程組的根為---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]);
    }
  }
  
  //交換Swap函式???
  public static void Swap(double[] ar,int x,int y) {
    Double tmp = ar[x];
    ar[x] = ar[y];
    ar[y] = tmp;
  }
  
  public static void PrintA() {  //輸出A的增廣矩陣
    //System.out.println("--------------增廣矩陣---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.print(A[i][j] + " ");
      }
      System.out.println(b[i]);
    }
  }
  
  //交換矩陣的行
  public static void WrapRow(int k) {  //k表示第k+1輪消元
    double maxElement = Math.abs(A[k][k]);
    
    int WrapRowIndex = k;  //  記住要交換的行
    for(int i = k + 1; i < n; i++) {
      if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) {
        WrapRowIndex = i;
        maxElement = A[i][k];
      }
    }
    if (WrapRowIndex != k) {  //交換求得最大主元
      n_2 += 1;
      System.out.println("k = " + k + "時，" + "要交換的行為" + k + "和"+ WrapRowIndex);
      
      //先交換A
      for(int j = k; j < n; j++) {
        double[] arr = {A[k][j],A[WrapRowIndex][j]};
        Swap(arr,1);
        A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];
//        double tmp = A[k][j];
//        A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];
//        A[WrapRowIndex][j] = tmp;
      }
      
      //再交換b
      double[] arr = {b[k],b[WrapRowIndex]};
      Swap(arr,1);
      b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];
//      double tmp = b[k];
//      b[k] = b[WrapRowIndex];
//      b[WrapRowIndex] = tmp;
      System.out.println("--------------交換後---------------");
      PrintA();
    }    
  }
}

注意：由於Java不支援對基本資料型別的引用傳遞，這裡使用了一個小技巧

java中交換兩個基本資料型別的變數函式swap(int[] source,int i,int j）

java中函式的引數傳遞機制是：基本資料型別採用值傳遞，物件採用傳引用。因此，如果要寫一個交換兩個int型變數數值的函式，還真是有點不方便，必須採用一個數組物件來作為輔助,具體實現如下：

//交換兩個整數
  private static void swap(int[] source,int j) {

    int temp = source[i];
    source[i] = source[j];
    source[j] = temp;
  }

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支援我們。