文章目錄

• 1貝葉斯濾波
• • 1.1理論基礎
  • 1.2貝葉斯濾波演算法
• 2卡爾曼濾波

1貝葉斯濾波

1.1理論基礎

（1）本質：通過貝葉斯公式對隨機訊號處理，從而減小不確定度（即方差）。

（2）隨機過程：x1,…,xn為隨機變數，但不獨立。
主觀概率（先驗概率）（實驗前），
引入外部觀測（證據、資訊），
得到相對客觀的概率（後驗概率）（實驗後）。

（3）先驗概率、後驗概率、似然概率：
離散舉例：溫度測量 T 實 際 溫 度 、 T m 溫 度 計 測 量 溫 度 T實際溫度、T_m溫度計測量溫度 T實際溫度、Tm​溫度計測量溫度
a. 先驗概率分佈
{ P ( T = 10 ) = 0.8 表 示 實 際 溫 度 為 10 的 概 率 為 0.8 P ( T = 11 ) = 0.2 \left\{ \begin{aligned} &P(T=10) = 0.8 表示實際溫度為10的概率為0.8 \\ &P(T=11)=0.2 \end{aligned} \right.

後驗= η ∗ 似 然 ∗ 先 驗 \eta*似然*先驗 η∗似然∗先驗，其中 η = 1 ∑ ( 似 然 ∗ 先 驗 ) \eta=\frac{1}{\sum{(似然*先驗)}} η=∑(似然∗先驗)1​。

連續：
f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f Y ∣ X ( y ∣ x ) ∗ f X ( x ) f Y ( y ) = η ∗ 似 然 ∗ 後 驗 f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{Y|X}(y|x)*f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}=\eta*似然*後驗

定理：若 f X ( x ) f_{X}(x) fX​(x)~ N ( μ 1 , δ 1 2 ) ， f Y ∣ X ( y ∣ x ) N(\mu_{1}, \delta_1^2)，f_{Y|X}(y|x) N(μ1​,δ12​)，fY∣X​(y∣x)~ N ( μ 2 , δ 2 2 ) N(\mu_2, \delta_2^2) N(μ2​,δ22​)，
則 f X ∣ Y ( x ∣ y ) f_{X|Y}(x|y) fX∣Y​(x∣y)~ N ( δ 2 2 δ 1 2 + δ 2 2 ∗ μ 1 + δ 1 2 δ 1 2 + δ 2 2 ∗ μ 2 , δ 1 2 δ 2 2 δ 1 2 + δ 2 2 ) . N(\frac{\delta_2^2}{\delta_1^2+\delta_2^2}*\mu_1+\frac{\delta_1^2}{\delta_1^2+\delta_2^2}*\mu_2, \frac{\delta_1^2\delta_2^2}{\delta_1^2+\delta_2^2}). N(δ12​+δ22​δ22​​∗μ1​+δ12​+δ22​δ12​​∗μ2​,δ12​+δ22​δ12​δ22​​). (本質：實現方差降低)。

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1.2貝葉斯濾波演算法

X-先驗，Y-觀測， Q k Q_k Qk​-預測噪聲， R k R_k Rk​-觀測噪聲
（1）過程

x1,…,xn由遞推得：


（2）前提假設：
a . { 狀 態 方 程 ： X k = f ( X k − 1 ) + Q k 觀 測 方 程 ： Y k = h ( X k ) + R k a. \left\{ \begin{aligned} &狀態方程：X_k=f(X_{k-1})+Q_k \\ &觀測方程：Y_k=h(X_k)+R_k \end{aligned} \right. a.{​狀態方程：Xk​=f(Xk−1​)+Qk​觀測方程：Yk​=h(Xk​)+Rk​​
b. X k 、 X k − 1 、 Y k 、 Q k 、 R k X_k、X_{k-1}、Y_k、Q_k、R_k Xk​、Xk−1​、Yk​、Qk​、Rk​均為隨機變數；
X 0 、 Q 1 . . . Q k 、 R 1 . . . R k X_0、Q_1...Q_k、R_1...R_k X0​、Q1​...Qk​、R1​...Rk​相互獨；
X 0 X_0 X0​ ~ f 0 ( x ) ， Q k f_0(x)，Q_k f0​(x)，Qk​ ~ f Q k ( x ) ， R k f_{Q_k}(x)，R_k fQk​​(x)，Rk​ ~ f R k ( x ) f_{R_k}(x) fRk​​(x)。

（3）預測步、更新步：

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2卡爾曼濾波

（1）前提假設：
a. f ( X k − 1 ) = F ∗ X k − 1 ， h ( X k ) = H ∗ X k f(X_{k-1})=F*X_{k-1}，h(X_k)=H*X_k f(Xk−1​)=F∗Xk−1​，h(Xk​)=H∗Xk​，F、H為常數；
b. Q~ N(0, q), R~ N(0,r)。

（2）預測步、更新步

（3）五個公式：
{ μ k − = F ∗ μ k − 1 + δ k − = F 2 ∗ δ k − 1 + + q 卡 爾 曼 增 益 K = H ∗ δ k − H 2 ∗ δ k − + r μ k + = K ∗ ( y k − H ∗ μ k − ) + μ k − δ k + = ( 1 − H ∗ K ) ∗ δ k − \left\{ \begin{aligned} &\mu_k^-=F*\mu_{k-1}^+\\ &\delta_k^-=F^2*\delta_{k-1}^++q\\ &卡爾曼增益K=\frac{H*\delta_k^-}{H^2*\delta_k^-+r}\\ &\mu_k^+=K*(y_k-H*\mu_k^-)+\mu_k^-\\ &\delta_k^+=(1-H*K)*\delta_k^- \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​μk−​=F∗μk−1+​δk−​=F2∗δk−1+​+q卡爾曼增益K=H2∗δk−​+rH∗δk−​​μk+​=K∗(yk​−H∗μk−​)+μk−​δk+​=(1−H∗K)∗δk−​​

（4）矩陣形式： μ k → μ k ⃗ ， δ k → δ k ⃗ \mu_k\rightarrow\vec{\mu_k}，\delta_k\rightarrow\vec{\delta_k} μk​→μk​ ​，δk​→δk​ ​，F、H均為矩陣。
{ μ k − ⃗ = F ∗ μ k − 1 + ⃗ δ k − ⃗ = F ∗ δ k − 1 + ⃗ ∗ F T + q 卡 爾 曼 增 益 K = H ∗ δ k − ⃗ H ∗ δ k − ⃗ ∗ H T + r μ k + ⃗ = K ∗ ( y k ⃗ − H ∗ μ k − ⃗ ) + μ k − ⃗ δ k + ⃗ = ( 1 − H ∗ K ) ∗ δ k − ⃗ \left\{ \begin{aligned} &\vec{\mu_k^-}=F*\vec{\mu_{k-1}^+}\\ &\vec{\delta_k^-}=F*\vec{\delta_{k-1}^+}*F^T+q\\ &卡爾曼增益K=\frac{H*\vec{\delta_k^-}}{H*\vec{\delta_k^-}*H^T+r}\\ &\vec{\mu_k^+}=K*(\vec{y_k}-H*\vec{\mu_k^-})+\vec{\mu_k^-}\\ &\vec{\delta_k^+}=(1-H*K)*\vec{\delta_k^-} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​μk−​ ​=F∗μk−1+​ ​δk−​ ​=F∗δk−1+​ ​∗FT+q卡爾曼增益K=H∗δk−​ ​∗HT+rH∗δk−​ ​​μk+​ ​=K∗(yk​ ​−H∗μk−​ ​)+μk−​ ​δk+​ ​=(1−H∗K)∗δk−​ ​​

學習來源：感謝up主：忠厚老實的老王