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阿新 • • 發佈：2020-10-18
這是一種奇妙的演算法用來解決兩個問題：
- 精確覆蓋問題：給定一個矩陣，每行是一個二進位制數，選出儘量少的行，使得每一列恰好有一個 \(1\)
- 重複覆蓋問題：給定一個矩陣，每行是一個二進位制數，選出儘量少的行，使得每列至少有一個 \(1\)。
模板一般需要有兩個：① 資料結構（十字連結串列）② dfs 框架
其中 ① 對於兩個問題都是一樣的，而 ② 不同問題不同框架。
精確覆蓋問題
1. 如何儲存這個矩陣：十字連結串列
由於 \(1\) 的個數少，我們只存 \(1\)，不存 \(0\)。
十字連結串列。
-
對於所有 \(1\) 的位置建立節點。
-
看一下每個節點上下左右應該連向誰，這裡十字連結串列是一個迴圈連結串列。舉個例子，如果 \((x, y)\)
上面沒有節點，那麼迴圈到最底下，然後再往上走，直到走到第一個 \(1\)。
實際到程式碼實現，我們可以按行建立：
- 預備資訊
const int N = 具體問題中 1 最多的點數。
int n, m, U[N], D[N], L[N], R[N], idx, s[N], hh, tt, X[N], Y[N];
/*
n 為行數，m 為列數，U/D/L/R[i] 分別表示 i 節點上下左右的節點。
idx 為當前用了的點數, s[i] 表示第 i 列為 1 的有多少行。
hh, tt 用於加入點時兩個端點。
X[i], Y[i] 表示 i 號點的 x, y 座標
*/
- 首先第一行是哨兵（全 \(1\)），並且 \((0, 0)\) 加入一個節點以便後續快速找到現在還有多少個 \(1\)。
void inline init() {
for (int i = 0; i <= m; i++)
L[i] = i - 1, R[i] = i + 1, U[i] = D[i] = i;
L[0] = m, R[m] = 0, idx = m;
}
- 每一次加入一行。然後考慮左右兩個點 \(hh, tt\)，每次動態把一個 \(1\) 插入到 \(hh, tt\) 之間。
void inline add(int x, int y) { X[++idx] = x, Y[idx] = y, s[y]++; L[idx] = hh, R[idx] = tt, L[tt] = R[hh] = idx; U[idx] = U[y], D[idx] = y, D[U[y]] = idx, U[y] = idx; // 注意 U[y] = idx 必須在最後，因為其他東西需要用到之前的 U[y]，即 idx 上面那個店。 hh = idx; }
// 按行加入
for (int i = 1; i <= n; i++) {
hh = idx + 1, tt = idx + 1; // 可以理解為第一行第一個點左右都是自己。
for (int j = 1, x; j <= m; j++) {
scanf("%d", &x);
if (x) add(i, j); // 如果 i, j 為 1，加入 (i, j)
}
}
- 刪除第 \(p\) 列及其關聯的所有行。刪除列的時候，只需要刪除第一行對應的列，原因在於我們 dfs 時找是通過第一行的哨兵找；刪除行的時候，只需要把行對應列的位置刪掉，行相互作用是不需要刪的，原因是不影響，且我們需要用行的資訊恢復現場.jpg
void del(int p) {
L[R[p]] = L[p], R[L[p]] = R[p];
for (int i = D[p]; i != p; i = D[i]) {
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) {
s[Y[j]]--, U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j];
}
}
}
- 按插入順序撤銷第 \(p\) 列，注意這裡按照時間逆序操作即可，相互不影響的時間順序可以改變。
void resume(int p) {
L[R[p]] = p, R[L[p]] = p;
for (int i = U[p]; i != p; i = U[i]) {
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) {
s[Y[j]]++, U[D[j]] = j, D[U[j]] = j;
}
}
}
2. dfs 框架：針對精確覆蓋問題。
每次任意選擇未被選擇的一行，判斷能不能選。
剪枝：
- 挑 \(1\) 的個數最少的列。列舉這一列選哪個行。如果我們選擇了這一列，接下來就不需要考慮這一列的影響了，所以我們可以把這一列刪掉（十字連結串列的操作）。
- 選擇一行，實際上是把這行所有 \(1\) 的列都選了，即刪掉這些列，然後這些列關係到的行也都沒了，把這些行也幹掉，
禁止套娃。
經過這兩步，我們可以理解為，\(dfs\) 到當前的資料結構上都是沒選的列和行，相當於每次選一行把問題轉化成了更小規模，即選擇一行，把與這行衝突的行刪掉，並且刪掉對應列，通過十字連結串列，我們做到了快速刪除/查詢。
bool inline dfs() {
if (!R[0]) return true;
int p = R[0];
for (int i = R[0]; i; i = R[i])
if (s[i] < s[p]) p = i;
if (!s[p]) return false;
del(p);
for (int i = D[p]; i != p; i = D[i]) {
ans[++top] = X[i];
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) del(Y[j]);
if (dfs()) return true;
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) resume(Y[j]);
--top;
}
resume(p);
return false;
}
例題
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 5505, M = 505;
int n, m, U[N], D[N], L[N], R[N], idx, s[N], hh, tt, X[N], Y[N];
int ans[M], top;
void inline init() {
for (int i = 0; i <= m; i++)
L[i] = i - 1, R[i] = i + 1, U[i] = D[i] = i;
L[0] = m, R[m] = 0, idx = m;
}
void inline add(int x, int y) {
X[++idx] = x, Y[idx] = y, s[y]++;
L[idx] = hh, R[idx] = tt, L[tt] = R[hh] = idx;
U[idx] = U[y], D[idx] = y, D[U[y]] = idx, U[y] = idx;
hh = idx;
}
// 刪除第 p 列
void del(int p) {
L[R[p]] = L[p], R[L[p]] = R[p];
for (int i = D[p]; i != p; i = D[i]) {
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) {
s[Y[j]]--, U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j];
}
}
}
void resume(int p) {
L[R[p]] = p, R[L[p]] = p;
for (int i = U[p]; i != p; i = U[i]) {
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) {
s[Y[j]]++, U[D[j]] = j, D[U[j]] = j;
}
}
}
bool inline dfs() {
if (!R[0]) return true;
int p = R[0];
for (int i = R[0]; i; i = R[i])
if (s[i] < s[p]) p = i;
if (!s[p]) return false;
del(p);
for (int i = D[p]; i != p; i = D[i]) {
ans[++top] = X[i];
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) del(Y[j]);
if (dfs()) return true;
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) resume(Y[j]);
--top;
}
resume(p);
return false;
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
init();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
hh = idx + 1, tt = idx + 1;
for (int j = 1, x; j <= m; j++) {
scanf("%d", &x);
if (x) add(i, j);
}
}
if (!dfs()) puts("No Solution!");
else for (int i = 1; i <= top; i++) printf("%d ", ans[i]);
return 0;
}