第四章-第二節-指數與對數對映
一、 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)上的指數對映
對於 s o ( 3 ) so(3) so(3)中的元素 ϕ \phi ϕ，可計算其模長及方向向量分別為 θ \theta θ和 a a a。經過數學推導（詳見視覺SLAM十四講79頁）, S O ( 3 ) SO(3) SO(3)上的指數/對數對映公式如下：
已知
ϕ
\phi
ϕ，求解
R
=
exp
(
ϕ
∧
)
R{\rm{ = }}\exp (\phi ^ \wedge)
R=exp(ϕ∧)，即指數對映公式:
已知
R
R
R，求解
ϕ
\phi
ϕ，即對數對映公式：
θ
=
arccos
t
r
(
R
)
−
1
2
a
=
R
a
\begin{array}{l} \theta = \arccos \frac{{tr(R) - 1}}{2}\\ a = Ra \end{array}
對於該公式的理解：
1）指數對數對映公式與第三講中旋轉向量與旋轉矩陣的變換公式是一致的，這說明
s
o
(
3
)
so(3)
so(3)實際上就是旋轉向量組成的空間。
2）指數對映是一個滿射，但不是一個單射。即每個
R
R
R都能找到與之對應的
ϕ
\phi
ϕ，但可能存在多個
ϕ
\phi
ϕ對應同一個
R
R
R。最簡單的例子就是旋轉360度和旋轉720度是一樣的。但如果將旋轉角固定在
±
π
\pm \pi
±π之間，那麼
S
O
(
3
)
SO(3)
SO(3)和
s
o
(
3
)
so(3)
so(3)中的元素是一一對應的。
二、 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)上的指數對映
對於 s e ( 3 ) se(3) se(3)上的元素 ξ = [ ρ , ϕ ] \xi = [\rho ,\phi ] ξ=[ρ,ϕ]，其中 ϕ = θ a \phi = \theta a ϕ=θa與 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)的元素歐氏變換矩陣 T T T，有以下對映關係：
已知
ξ
=
[
ρ
,
ϕ
]
\xi = [\rho ,\phi ]
ξ=[ρ,ϕ]，求
T
=
exp
(
ξ
∧
)
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge)
T=exp(ξ∧)，即指數對映:
T
=
exp
(
ξ
∧
)
=
[
R
t
0
T
1
]
=
[
R
J
ρ
0
T
1
]
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge) = \left[ {\begin{matrix} R&t\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right] = \left[ {\begin{matrix} R&{J\rho }\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
已知
T
=
exp
(
ξ
∧
)
=
[
R
t
0
T
1
]
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge) = \left[ {\begin{matrix} R&{t }\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
T=exp(ξ∧)=[R0Tt1],求解
ξ
=
[
ρ
,
ϕ
]
\xi = [\rho ,\phi ]
ξ=[ρ,ϕ]，即對數對映：
θ
=
arccos
t
r
(
R
)
−
1
2
a
=
R
a
\begin{array}{l} \theta = \arccos \frac{{tr(R) - 1}}{2}\\ a = Ra \end{array}
θ=arccos2tr(R)−1a=Ra
J
=
sin
θ
θ
I
+
(
1
−
sin
θ
θ
)
a
a
T
+
1
−
cos
θ
θ
a
∧
J = \frac{{\sin \theta }}{\theta }I + (1 - \frac{{\sin \theta }}{\theta })a{a^T} + \frac{{1 - \cos \theta }}{\theta }{a^ \wedge }
J=θsinθI+(1−θsinθ)aaT+θ1−cosθa∧
ρ
=
J
−
1
t
\rho = {J^{ - 1}}t
ρ=J−1t
對於該公式的理解：
1）公式中旋轉部分與
S
O
(
3
)
SO(3)
SO(3)保持一致，而
s
e
(
3
)
se(3)
se(3)的平移部分
ρ
\rho
ρ到
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)的平移部分
t
t
t則發生了一次以
J
J
J為係數矩陣的線性變換。
三、李群與李代數定義轉換圖表
