P6859 蝴蝶與花 思維 + 資料結構優化

題意

給定一個\(12\)串，問能否找到\(l\)最小的區間\([l,r]\)使得\(sum[l,r]\)恰好等於\(s\)

過程中可以修改單點，修改後也只能是\(1或者2\)

串的長度\(n\)，\(m\)次詢問

對每個詢問若有合法方案輸出這個方案的\(l,r\)否則輸出\(none\)

分析

顯然不能直接暴力

我們利用字首和維護區間和，如果以1為起點，二分出和不小於\(k\)的\(r\)，容易發現而分出的區間的和要麼是\(k\)，要麼是\(k+1\)

假設二分出\([l,r_1]\),\([l+1,r_2]\)且兩個區間的和都是\(k+1\)

可以發現

• \(a_l = 2\)
• \(a_{r1} = 2\)
• \(r2 = r1 + 1\)

這樣發現其實和連續\(2\)的個數有關。

規律總結後有如下性質：

二分出從位置1的開始和不小於\(k\)的右端點\(p\)。利用資料結構求出位置1和位置\(p\)後連續\(2\)的個數分別為\(cnt1,cnt2\)

• \(cnt1 < cnt2\) 時，區間\([2 + cn1,p + cnt1]\)就是答案
• \(cnt1 \geq cnt2\)時，區間\([1 + cnt2,p+cnt2]\)
  就是答案

只需要解決兩個問題

• 如何找到第一個字首和不小於\(k\)的位置
• 如何求出一個位置後面有多少個連續的2

這兩個問題都可以在樹狀陣列內2分實現（注意如果用2分 + 樹狀陣列 複雜度會多一個log）

對於問題2，只需要判斷區間\([p,p + len - 1]\)的和是否是\(2 \times len\)即可

當然也可以用線段樹複雜度\(O(mlogn)\)

程式碼

ll c[maxn];

struct BIT {
    int n;
    void add(int x, int y) {
        for (int i = x; i < maxn; i += i & -i) {
            c[i] += y;
        }
    }
    int query(int x) {
        ll res = 0;
        for (int i = x;i; i -= i & -i) {
            res += c[i];
        }
        return res;
    }
    int query1(int k) {
        int p = 0, sum = 0;
        for (int i = 20; i >= 0; i--) {
            int s = (1 << i);
            if (sum + c[s + p] <= k) p += s, sum += c[p];
        }
        return p;
    }
    int query2(int k) {
        int p = 0, sum = 0;
        int tmp = query(k - 1);
        for (int i = 20; i >= 0; i--) {
            int s = (1 << i);
            if ((sum + c[p + s] - tmp == (p + s - k + 1) * 2) || (p + s < k))
                p += s, sum += c[p];
        }
        return p;
    }
};

int a[maxn];


int main() {
    int n = readint();
    int m = readint();
    BIT bit;
    bit.n = n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = readint(), bit.add(i, a[i]);
    bit.add(n + 1, 1e9);
    char op[5];
    while (m--) {
        scanf("%s", op);
        if (op[0] == 'C') {
            int x = readint();
            int y = readint();
            bit.add(x, y - a[x]);
            a[x] = y;
        }
        else {
            int x = readint();
            int pos = bit.query1(x);
            if (!x || x > bit.query(n)) puts("none");
            else if (bit.query(pos) == x) printf("%d %d\n", 1, pos);
            else {
                pos++;
                int len1 = bit.query2(1), len2 = bit.query2(pos) - pos + 1;
                if (len1 < len2) {
                    if (pos + len1 <= n) printf("%d %d\n", 2 + len1, pos + len1);
                    else puts("none");
                }
                else {
                    if (pos + len2 <= n) printf("%d %d\n", 1 + len2, pos + len2);
                    else puts("none");
                }
            }
        }
    }
}