參考視訊

生成樹

首先定義一個無向連同帶權圖

G=(V,E,W) w(e)∈W是邊e的權（其中V表示頂點集合，E表示邊集，W表示權）

G的一顆生成樹T是包含G的所有頂點的樹，樹中各邊的權之和W(T)稱為樹的權，具有最小權的生成樹稱為G的最小生成樹

例項

G=(V,E,W) ，V={1，2，3，4，5，6}

E={{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，6}，{5，6}} 如下圖所示

最小生成樹（權值最小）下圖所示

生成樹的性質

設G是n階的連通圖

• T是G的生成樹當且僅當T無圈且有n-1條邊（無圈：沒有迴路）如下圖

• 如果T是G的生成樹，e∈T，那麼T∪{e}含一個圈c 如下圖

• 去掉c的任意一條邊，就得到G的另外一棵樹T‘ 如下圖

演算法步驟

生成樹性質的應用

• 演算法步驟：選擇邊

約束條件：不形成迴路

截至條件：邊數達到n-1

• 改進生成樹的方法

在T中加一條非樹邊e，形成迴路c，在c中去掉一條非樹邊ei，形成一顆新的生成樹T‘ W(T’)-W(T) = W(e)-W(e’)

若W(e)<=W(e’)則W(T’)<=W(T)