題意

在一個無限大的二維平面內，\(Alex\) 的起點為 \((0,0)\) 。他可以獲得若干的數對 \((a,b)\) ，使得他可以從點 \((x,y)\) 跳躍到 \((x+a,y+b)\) 或者 \((x-a,y-b)\) ，跳躍的次數不限。同時，會給出若干的點的座標 \((x,y)\)，且該點處有 \(w\) 的能量可以獲得。\(Alex\) 可以選擇去獲取該點的能量或者忽略它。

\(1\leq T \leq 10^4,1\leq Q \leq 10^5,0\leq x_i,y_i\leq 10^6,1\leq w_i\leq 10^9\)

題目連結：https://codeforces.com/gym/102769/problem/I

分析

對於二維平面的可以到達的點集，可以通過構造兩個基向量來表示，即：\((X_1,Y_1)\) 和 \((0,Y_2)\) ，其中，\(Y_2\geq0,X_1\geq 0,Y1<Y_2\) 。

假設當前加入的向量為： \((a,b)\) ，首先對於合成的新向量的 \(X\) 部分，\(X_1'=gcd(X_1,a)\) ，因為 \((0,Y_2)\) 不會對 \(X\) 產生影響。可以使用拓展歐幾里得來求解，同時求出各自的係數，便於求出 \(Y_1'\)。接下來，考慮 \((X_1,Y_1)\) 和 \((a,b)\) 進行線性組合產生一個向量 \((0,d)\) ，那麼反過來，通過向量 \((X_1,Y_1)\)

求出了每次新增新向量之後的新基向量，對於給出的每個點，我們只需要判斷是否可以用基向量表示即可。複雜度：\(O(n\log(x+y))\) 。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
void read(int &x)
{
    x=0;
    int f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll res=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
    return res;
}
int main()
{
    int T,q,cnt=0;
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(q);
        int op,x,y,w;
        ll u=0,v=0,ans=0;
        ll g,X1=0,Y1=0,Y2=0;
        for(int i=1;i<=q;i++)
        {
            read(op);
            if(op==1)//向量的合成
            {
                read(x),read(y);
                g=exgcd(X1,x,u,v);
                if(g==0) Y2=gcd(Y2,1LL*y);
                else Y2=gcd(Y2,(x*Y1-y*X1)/g);
                if(g==0) Y1=y;
                else Y1=Y1*u+y*v;
                if(Y2) Y1=(Y1%Y2+Y2)%Y2;
                X1=g;
            }
            else
            {
                read(x),read(y),read(w);
                if(X1==0)//首先滿足:x=0
                {
                    if(x!=0) continue;
                    if(Y1==0)
                    {
                        if(y!=0)
                        {
                            if(Y2!=0&&y%Y2==0)
                                ans+=w;
                        }
                        else ans+=w;
                    }
                    else
                    {
                        if(Y2==0&&y%Y1==0)
                            ans+=w;
                        else if(Y2!=0)
                        {
                            g=exgcd(Y1,Y2,u,v);
                            if(y%g==0) ans+=w;
                        }
                    }
                }
                else
                {
                    if(x%X1!=0) continue;
                    if(Y2==0)
                    {
                        if(X1*y==x*Y1)
                            ans+=w;
                        continue;
                    }
                    if((y-(x/X1)*Y1)%Y2==0)
                        ans+=w;
                }
            }
        }
        printf("Case #%d: %lld\n",++cnt,ans);
    }
    return 0;
}