原文

1. 多解析度分析

儘管時間和頻率解析度問題是物理現象（海森堡不確定性原理）的結果，並且無論使用哪種變換都存在，但是可以通過使用稱為多解析度分析（MRA）的替代方法來分析任何訊號。 顧名思義，MRA可以分析具有不同解析度的不同頻率的訊號，但不能像STFT那樣對每個頻譜分量進行均等的解析。

MRA被設計為在高頻時具有良好的時間解析度和較差的頻率解析度，在低頻時具有良好的頻率解析度和較差的時間解析度。 當手頭訊號在短時間內具有高頻分量而在長時間內具有低頻分量時，這種方法尤其有意義。 幸運的是，在實際應用中遇到的訊號通常是這種型別的。 例如，下圖顯示了這種訊號。 它在整個訊號中具有相對較低的頻率分量，並且在中間附近的短時間內具有較高的頻率分量。

2. 連續小波變換

連續小波變換被開發為短時傅立葉變換的替代方法，以克服解析度問題。 小波分析以與STFT分析類似的方式進行，在某種意義上，訊號乘以一個函式 t h e w a v e l e t {\it the wavelet} thewavelet，類似於STFT中的視窗函式，並且針對不同的訊號分別計算變換時域訊號的片段。 但是，STFT和CWT之間有兩個主要區別：

(1)沒有對視窗訊號進行傅立葉變換，因此將看到對應於正弦波的單個峰，即，不計算負頻率。
(2) 在為每個單個頻譜分量計算變換時，視窗的寬度會發生變化，這可能是小波變換的最重要特徵。

連續小波變換定義如下:

C W T x ψ ( τ , s ) = Ψ x ψ ( τ , s ) = 1 ∣ s ∣ ∫ x ( t ) ψ ∗ ( t − τ s ) d t CWT_x^\psi(\tau,s) = \Psi_x^\psi(\tau,s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int x(t) \psi^* \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt

如上式所示，變換後的訊號是兩個變數 τ \tau τ和s的函式，分別是" translation"和"scale"引數。 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)是變換函式，稱為母小波( mother wavelet)。 術語“母小波”之所以得名，是因為小波分析的兩個重要屬性，如下所述：

wavelet一詞是指small wave。 small 是指此（視窗）函式具有有限長度（得到緊湊支援）的條件。wave是指該函式具有振盪性的條件。 術語“mother”表示在轉換過程中使用的具有不同支援區域的函式是從一個主要函式或“母小波”派生的。 換句話說，母小波是用於生成其他視窗函式的原型。

術語" translation"的含義與STFT中使用的含義相同； 它與視窗的位置有關，因為視窗在訊號中移動。 顯然，該術語對應於變換域中的時間資訊。 但是，我們沒有STFT之前的頻率引數。 取而代之的是，我們將比例引數定義為 1 f r e q u e n c y \frac {1} {frequency} frequency1​。 術語頻率是為STFT保留的。 下一部分將更詳細地說明"scale"。

3. The Scale

小波分析中的引數“scale”似於地圖中使用的“scale”。 與地圖的情況一樣，“high scale”對應於（訊號的）非詳細全域性檢視，而“low scale”對應於詳細檢視。 同樣，就頻率而言，低頻（“high scale”）對應於訊號的全域性資訊（通常跨越整個訊號），而高頻（“low scale”）對應於訊號中隱藏模式的詳細資訊（ 通常會持續相對較短的時間）。 下圖給出了對應於各種刻度的餘弦訊號的示例。

幸運的是，在實際應用中，“ low scales”（高頻）不會在訊號的整個持續時間內持續存在，與圖中所示不同，但它們通常會不時出現為短脈衝或尖峰。 “high scale”（低頻）通常會持續整個訊號持續時間。

縮放（Scaling）作為一種數學運算，可以放大或壓縮訊號。 較大的比例對應於擴張（或擴充套件）的訊號，較小的比例對應於壓縮的訊號。 圖中給出的所有訊號均來自相同的餘弦訊號，即它們是同一功能的擴張或壓縮版本。 在上圖中，s = 0.05是最小比例，而s = 1是最大比例。

在數學函式方面，如果 f ( t ) f(t) f(t)是給定函式，則在s> 1的情況下， f ( s t ) f(st) f(st)對應於 f ( t ) f(t) f(t)的壓縮（壓縮）版本，而在s<1時，對應於f（t）的擴充套件（擴張）版本 。

然而，在小波變換的定義中，在分母中使用了比例項，因此，上述陳述的反義成立，即，比例尺s> 1放大訊號，而比例尺s <1壓縮訊號。 此處對“scale”的解釋將在全文使用。

4. CWT的計算

在本節中將解釋上述方程式。 令 x ( t ) x(t) x(t)是要分析的訊號。 選擇母小波作為該過程中所有視窗的原型。 使用的所有視窗都是母小波的放大（或壓縮）版本和平移版本。 有許多用於此目的的功能。 Morlet小波和Mexican hat函式是兩個候選者，它們用於示例的小波分析，這些示例將在本章後面介紹。

一旦選擇了母小波，計算就從s = 1開始，並對小於和大於“1”的所有s值計算連續小波變換。 但是，根據訊號，通常不需要完全轉換。對於所有實際目的，訊號都是頻寬受限的，因此，在有限的比例尺間隔內進行變換計算通常是足夠的。 在本研究中，使用了s的一些有限值區間，這將在本章後面介紹。

為了方便起見，該過程將從標度s = 1開始，並針對s的增加值繼續進行，即，分析將從高頻開始，朝低頻進行。 s的第一個值將對應於壓縮程度最高的小波。 隨著s值的增加，小波將擴大。

將小波放在訊號的開始處與time= 0對應的點處。將小波函式以“1”的比例乘以訊號，然後在所有時間進行積分。 然後，將積分結果乘以常數 1 s \frac {1} {\sqrt {s}} s ​1​。 該乘法是出於能量歸一化的目的，因此變換後的訊號在每個尺度上都將具有相同的能量。 最終結果是變換的值，即在時間零和標度s = 1處的連續小波變換的值。 換句話說，它是與時標平面中的 τ = 0 ， s = 1 \boldsymbol\tau = 0，s = 1 τ=0，s=1對應的值。

然後將比例為s = 1的小波向右移 τ \tau τ到位置 t = τ t = \boldsymbol \tau t=τ，並計算上述等式以獲得時間為 t = τ t=\tau t=τ，s = 1的變換值。 頻率平面。

重複該過程，直到小波到達訊號的末端。 現在完成了時標平面上標度s = 1的一排點。

然後，s增加一個小值。 請注意，這是一個連續的變換，因此 τ \boldsymbol \tau τ和 s s s都必須連續遞增。 但是，如果此轉換需要由計算機計算，則兩個引數都將增加足夠小的步長。 這對應於對時標平面進行取樣。

對s的每個值重複上述過程。 給定s值的每次計算都將填充時標平面的相應單行。 當針對s的所有期望值完成該過程時，已計算出訊號的CWT。

下圖逐步說明了整個過程。

在圖3.3中，顯示了 τ \boldsymbol \tau τ四個不同值的訊號和小波函式。 該訊號是圖3.1所示訊號的截斷版本。 “scale"值為1，對應於最低"scale"或最高頻率。 請注意它有多緊湊（藍色視窗）。 它應與訊號中存在的最高頻率分量一樣窄。 小波函式的四個不同位置在圖中顯示為 t o = 2 ， t o = 40 ， t o = 90 和 t o = 140 \boldsymbol {t_o} = 2，\boldsymbol {t_o} = 40，\boldsymbol {t_o} = 90和\boldsymbol {t_o} = 140 to​=2，to​=40，to​=90和to​=140。 在每個位置，它都乘以訊號。 顯然，乘積僅在訊號落在小波支援區域內時才為非零，在其他地方為零。 通過在時間上移動小波，可以在時間上定位訊號，通過更改s的值，可以在"sacle”（頻率）上定位訊號。

如果訊號的頻譜分量對應於s的當前值（在這種情況下為1），則小波與該頻譜分量存在的位置處的訊號的乘積將給出一個較大的值。 如果訊號中不存在與s的當前值相對應的頻譜分量，則乘積值將相對較小或為零。 圖3.3中的訊號的頻譜分量與t = 100 ms周圍s = 1時視窗的寬度相當。

圖3.3中訊號的連續小波變換將在100 ms左右的時間產生小範圍的大數值，而在其他地方產生小數值。 另一方面，對於"high scale"，連續小波變換將在訊號的整個持續時間內給出較大的值，因為低頻始終存在。

圖3.4和3.5分別說明了標度s = 5和s = 20的相同過程。 請注意視窗寬度如何隨比例增加（頻率減少）而變化。 隨著視窗寬度的增加，變換開始拾取低頻分量。

結果，對於每個刻度和每個時間（間隔），將計算時標平面的一個點。 在一個尺度上的計算構成了時標平面的行，而在不同尺度上的計算構成了時標平面的列。

現在，讓我們看一個例子，看看小波變換的真實外觀。 考慮圖3.6中的非平穩訊號。 除了在不同的頻率外，這類似於為STFT給出的示例。 如圖所示，訊號由30 Hz，20 Hz，10 Hz和5 Hz的四個頻率分量組成。
圖3.7是該訊號的連續小波變換（CWT）。 請注意，軸是“translation” 和“scale”，而不是時間和頻率。 但是，“translation” 與時間嚴格相關，因為它指示了子小波所在的位置。 可以將母小波的“translation” 視為從t = 0開始經過的時間。 然而，“scale”卻完全不同。 請記住，公式3.1中的“scale”引數s實際上是頻率的倒數。 換句話說，無論我們說的關於頻率解析度的小波變換的性質如何，它的反面都會出現在表示時域訊號WT的圖中。

請注意，在圖3.7中，較小的“scale”對應於較高的頻率，即，頻率隨著“scale”的增加而減小，因此，圖中“scale”在零附近的部分實際上對應於分析中的最高頻率，而“scale”較高的那部分對應於最低的頻率 頻率。 請記住，訊號首先具有30 Hz（最高頻率）分量，然後以最低標度從0到30的轉換出現。然後是20 Hz分量，第二最高頻率，依此類推。 5 Hz分量出現在“translation” 軸的末端（如預期的那樣），並且按預期再次出現在較高的音階（較低的頻率）上。

現在，回想一下這些解析度屬性：與STFT在所有時間和頻率下均具有恆定的解析度不同，WT在高頻下具有良好的時間和較差的頻率解析度，而在低頻下具有良好的頻率和較差的時間解析度。圖3.8從另一個角度顯示了圖3.7中的相同WT，以更好地說明解析度屬性：在圖3.8中，“low scale”（較高的頻率）具有較好的scale解析度（scale更窄，這意味著scale的確切值不那麼模稜兩可），這對應於較差的頻率解析度。同樣，“high scale”具有scale頻率解析度，它對應於較低頻率的更好的頻率解析度。

圖3.7和3.8中的軸已標準化，應進行相應評估。大致來說，平移軸上的100點對應於1000 ms，而刻度軸上的150點對應於40 Hz的頻帶（平移和刻度軸上的數字分別不對應於秒和Hz，它們只是計算中的樣本數）。

5. 時間和頻率解析度

在本節中，我們將仔細研究小波變換的解析度屬性。 請記住，解析度問題是我們從STFT切換到WT的主要原因。

圖3.9中的插圖通常用於描述 如何解釋時間和頻率解析度。 圖3.9中的每個方框都對應於時頻平面中的小波變換的值。 請注意，框具有某個非零區域，這意味著無法知道時頻平面中特定點的值。 時頻平面中落入一個框內的所有點都由WT的一個值表示。

讓我們仔細看看圖3.9：首先要注意的是，儘管盒子的寬度和高度會發生變化，但面積是恆定的。 也就是說，每個框代表時頻平面的相等部分，但對時間和頻率給出不同的比例。 請注意，在低頻情況下，盒子的高度較短（對應於較好的頻率解析度，因為確切頻率值的模稜兩可性較小），但它們的寬度較長（這與較差的時間解析度相對應，因為確切時間的值存在更多歧義）。 在較高的頻率下，盒子的寬度減小，即時間解析度變好，而盒子的高度增加，即頻率解析度變差。

在結束本節之前，值得一提的是在STFT情況下分割槽是什麼樣子的。 回想一下，在STFT中，時間和頻率解析度由分析視窗的寬度決定，該寬度對於整個分析都是固定的，即時間和頻率解析度都是恆定的。 因此，在STFT情況下，時頻平面由正方形組成。

無論盒子的尺寸如何，STFT和WT中所有盒子的面積都是相同的，並由海森堡不等式確定。 總之，對於每個視窗函式（STFT）或母小波（CWT），框的面積是固定的，而不同的視窗或母小波會導致不同的面積。 但是，所有區域都由 1 4 π \boldsymbol {\frac {1} {4} \pi} 41​π限制。 也就是說，由於海森堡的不確定性原理，我們無法儘可能地減少盒子的面積。 另一方面，對於給定的母小波，可以更改盒子的尺寸，同時保持面積不變。 這正是小波變換所做的。

6. 小波理論：一種數學方法

本節介紹了小波分析理論的主要思想，也可以將其視為大多數訊號分析技術的基本概念。傅立葉定義的FT使用基本函式來分析和重構函式。向量空間中的每個向量都可以寫成該向量空間中基本向量的線性組合，即，將向量乘以某個常數，然後取乘積之和。訊號分析涉及對這些常數的估計（變換系數或傅立葉係數，小波係數等）。合成或重構對應於計算線性組合方程。

與該主題相關的所有定義和定理都可以在Keiser的書《小波友好指南》中找到，但是對於基礎函式如何工作的入門級知識對於理解小波理論的基本原理是必需的。因此，此資訊將在本節中介紹。

7. 基礎向量

向量空間V的基是一組線性獨立的向量，因此V中的任何向量v都可以寫成這些基向量的線性組合。 向量空間可能有多個基礎。 但是，它們全部具有相同數量的向量，該數目稱為向量空間的維數。 例如，在二維空間中，基礎將具有兩個向量。

v = ∑ k ν k b k v = \sum\limits_{k} \nu^k b_k v=k∑​νkbk​

公式3.2展示瞭如何將任何向量v表示為基礎向量 b k \boldsymbol {b_k} bk​和相應係數 ν k \boldsymbol {\nu ^ k} νk的線性組合。

通過用基函式 ϕ k ( t ) \boldsymbol {\phi_k(t)} ϕk​(t)替換基向量 b k \boldsymbol {b_k} bk​，並用函式 f ( t ) f(t) f(t)替換向量 v v v，可以很容易地將這種就向量而言的概念推廣為函式 。 公式3.2變為

f ( t ) = ∑ k μ k ϕ k ( t ) f(t) = \sum\limits_{k} \mu_k \phi_k (t) f(t)=k∑​μk​ϕk​(t)

復指數函式（正弦和餘弦）是FT的基本函式。 此外，它們是正交函式，為重構提供了一些理想的屬性。

令 f ( t ) f(t) f(t)和 g ( t ) g(t) g(t)是 L 2 [ a ， b ] L ^ 2 [a，b] L2[a，b]中的兩個函式。 （ L 2 [ a ， b ] L ^ 2 [a，b] L2[a，b]表示區間[a，b]中的平方可積函式的集合）。 兩個函式的內積由公式3.3定義：

< f ( t ) , g ( t ) > = ∫ a b f ( t ) ⋅ g ∗ ( t ) d t < f(t), g(t) > = \int_a^b f(t) \cdot g^*(t) dt <f(t),g(t)>=∫ab​f(t)⋅g∗(t)dt

根據內積的上述定義，可以將CWT視為具有基函式 ψ ( τ ， s ) ( t ) \psi _(\tau，s)(t) ψ(​τ，s)(t)的測試訊號的內積：

C W T x ψ ( τ , s ) = Ψ x ψ ( τ , s ) = ∫ x ( t ) ⋅ ψ τ , s ∗ ( t ) d t CWT_x^\psi(\tau, s) = \Psi_x^\psi(\tau, s) = \int x(t) \cdot \psi^*_{\tau, s}(t) dt CWTxψ​(τ,s)=Ψxψ​(τ,s)=∫x(t)⋅ψτ,s∗​(t)dt

其中：

ψ τ , s = 1 s ψ ( t − τ s ) \psi_{\tau, s} = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t - \tau}{s} \right) ψτ,s​=s ​1​ψ(st−τ​)

CWT的這一定義表明，小波分析是對基函式（小波）和訊號本身之間相似度的度量。 在此，相似性是指相似的頻率含量。 計算出的CWT係數是指在當前尺度下訊號與小波的接近程度。

這進一步澄清了先前關於訊號與小波在一定規模上的相關性的討論。 如果訊號具有對應於當前標度的頻率的主要分量，則當前標度的小波（基函式）將與該頻率分量出現的特定位置處的訊號相似或接近。 因此，在時標平面上此時計算的CWT係數將是一個相對較大的數字。

8. 內積，正交性和正交性

如果兩個向量v，w的內積等於零，則稱它們為正交

< v , w > = ∑ n v n w n ∗ = 0 < v, w > = \sum\limits_{n} v_n w^*_n = 0 <v,w>=n∑​vn​wn∗​=0

類似地，如果兩個函式f和g的內積為零，則稱它們彼此正交：

< f ( t ) , g ( t ) > = ∫ a b f ( t ) ⋅ g ∗ ( t ) ⋅ d t = 0 < f(t), g(t) > = \int_a^b f(t) \cdot g^*(t) \cdot dt = 0 <f(t),g(t)>=∫ab​f(t)⋅g∗(t)⋅dt=0

如果向量 v 1 ， v 2 ， . . . . ， v n {\boldsymbol {v_1，v_2，....，v_n}} v1​，v2​，....，vn​的集合是成對正交的，則它們成對相互正交，並且所有長度均為“ 1”。 可以表示為：

< v m , v n > = δ m n < v_m, v_n > = \delta_{mn} <vm​,vn​>=δmn​

同樣，如果滿足以下條件，則一組函式 ϕ k ( t ) ， k = 1 , 2 , 3 ， . . . {\phi_k(t)}，k = 1,2,3，... ϕk​(t)，k=1,2,3，...是正交的:

∫ a b ϕ k ( t ) ⋅ ϕ l ∗ ( t ) ⋅ d t = 0 k ≠ l \int_a^b \phi_k(t) \cdot \phi^*_l(t) \cdot dt = 0 k \neq l ∫ab​ϕk​(t)⋅ϕl∗​(t)⋅dt=0k​=l

∫ a b { ∣ ϕ k ( t ) ∣ } 2 d x = 1 \int_a^b \{ | \phi_k(t) | \}^2 dx = 1 ∫ab​{∣ϕk​(t)∣}2dx=1

或同等:

∫ a b ϕ k ( t ) ⋅ ϕ l ∗ ( t ) ⋅ d t = δ k l \int_a^b \phi_k(t) \cdot \phi_l^*(t) \cdot dt = \delta_{kl} ∫ab​ϕk​(t)⋅ϕl∗​(t)⋅dt=δkl​

其中， δ k l \delta_{kl} δkl​是Kronecker delta函式，定義為：

δ k l = { 1 , k = l 0 , k ≠ l \delta_{kl} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & k = l \\ 0, & k \neq l\\ \end{array} \right. δkl​={1,0,​k=lk​=l​

如上所述，可能有不止一組基礎函式（或向量）。 其中，正交基函式（或向量）特別重要，因為它們在查詢這些分析係數時提供了很好的特性。 正交正態基數允許使用正交正態性以非常簡單明瞭的方式計算這些係數。

對於正交基，係數 μ k \mu_k μk​可以計算為

μ k = < f , ϕ k > = ∫ f ( t ) ⋅ ϕ k ∗ ( t ) ⋅ d t \mu_k = < f, \phi_k > = \int f(t) \cdot \phi_k^*(t) \cdot dt μk​=<f,ϕk​>=∫f(t)⋅ϕk∗​(t)⋅dt

然後可以用公式3.2_a代入 μ k \mu_k μk​係數來重建函式 f ( t ) f(t) f(t)。 這產生:

f ( t ) = ∑ k μ k ϕ k ( t ) = ∑ k < f , ϕ k > ϕ k ( t ) f(t) = \sum\limits_{k} \mu_k \phi_k(t) = \sum\nolimits_{k} < f, \phi_k > \phi_k(t) f(t)=k∑​μk​ϕk​(t)=∑k​<f,ϕk​>ϕk​(t)

正交基可能不適用於可以使用通用版本雙正交基的每種型別的應用程式。 術語“雙正交”是指彼此正交的兩個不同的基，但是每個都不形成正交集。

但是，在某些應用中，在這種情況下，可以使用雙正交基。 框架是小波理論的重要組成部分，感興趣的讀者可以參考前面提到的Kaiser的書。

遵循與第2章中STFT相同的順序，接下來介紹連續小波變換的一些示例。 示例中給出的數字是由編寫用於計算CWT的程式生成的。

在結束本節之前，我想介紹兩個在小波分析中常用的小波。 墨西哥帽小波定義為高斯函式的二階導數：

w ( t ) = 1 2 π ⋅ σ e − t 2 2 σ 2 w(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} e^{\frac{-t^2}{2 \sigma^2}} w(t)=2π ​⋅σ1​e2σ2−t2​

ψ ( t ) = 1 2 π ⋅ σ 3 ( e − t 2 2 σ 2 ⋅ ( t 2 σ 2 − 1 ) ) \psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma^3} \left( e^{\frac{-t^2}{2 \sigma^2}} \cdot \left( \frac{t^2}{\sigma^2} - 1 \right) \right) ψ(t)=2π ​⋅σ31​(e2σ2−t2​⋅(σ2t2​−1))

Morlet小波定義為:

w ( t ) = e i a t ⋅ e − t 2 2 σ w(t) = e^{i a t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2\sigma}} w(t)=eiat⋅e−2σt2​

其中a是調製引數， σ \sigma σ是影響視窗寬度的縮放參數。

9. 例子

下面給出的所有示例均對應於現實生活中的非平穩訊號。 這些訊號來自資料庫訊號，其中包括正常人和患有阿爾茨海默氏病患者的事件相關電位。 由於這些不是簡單的正弦波那樣的測試訊號，因此很難解釋它們。 此處顯示它們只是為了讓您瞭解現實中的CWT到底是什麼樣子的。

圖3.11所示的以下訊號屬於正常人。

以下是其CWT。 軸上的數字對我們並不重要。 這些數字只是表明CWT是在平移標度平面上的350個平移和60個標度位置計算的。 這裡要注意的重要一點是，該計算不是真正的連續WT，這從有限數量的位置處的計算可以明顯看出。 這只是CWT的離散版本，將在本頁後面解釋。 但是請注意，這不是離散小波變換（DWT），這是本教程第四部分的主題。

圖3.13從不同角度繪製了相同的變換，以實現更好的視覺化。

圖3.14繪製了被診斷患有阿爾茨海默氏病的患者的事件相關電位

圖3.15說明了它的CWT：
這是從另一個角度來看的另一種觀點：

10.小波綜合

只要滿足公式3.18，連續小波變換就是可逆變換。 幸運的是，這是一個非限制性的要求。 即使基本函式通常可能不是正交的，如果滿足公式3.18，連續小波變換也是可逆的。 通過使用以下重建公式，可以進行重建：

x ( t ) = 1 C ψ 2 ∫ s ∫ τ [ Ψ x ψ ( τ , s ) 1 s 2 ψ ( t − τ s ) ] d τ ⋅ d s x(t) = \frac{1}{C_\psi^2} \int_s \int_\tau \left[ \Psi^\psi_x(\tau, s) \frac{1}{s^2} \psi \left( \frac{t - \tau}{s} \right) \right] d\tau \cdot ds x(t)=Cψ2​1​∫s​∫τ​[Ψxψ​(τ,s)s21​ψ(st−τ​)]dτ⋅ds··················（3.17）

其中 C ψ C_ \psi Cψ​是一個常數，取決於所使用的小波。 重構的成功取決於此常數（可接納性常數）是否滿足以下可接納性條件：

C ψ = { 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ ψ ^ ( ξ ) ∣ 2 ∣ ζ ∣ d ξ } 1 2 < ∞ C_\psi = \left\{ 2 \pi \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\xi)|^2}{|\zeta|} d\xi \right\} ^{\frac{1}{2}} < \infty Cψ​={2π∫−∞∞​∣ζ∣∣ψ^​(ξ)∣2​dξ}21​<∞·····································(3.18)

其中 ψ ^ ( ξ ) \hat{\psi}(\xi) ψ^​(ξ)是 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)的FT。 公式3.18表示 ψ ^ ( 0 ) = 0 \hat {\psi}(0)= 0 ψ^​(0)=0，這是

∫ ψ ( t ) ⋅ d t = 0 \int \psi(t) \cdot dt = 0 ∫ψ(t)⋅dt=0

如上所述，公式3.19並不是一個嚴格的要求，因為可以找到許多積分為零的小波函式。 為了滿足公式3.19，小波必須是振盪的。

11.連續小波變換的離散化：小波級數

在當今世界，計算機用於執行大多數計算（嗯，…好吧…幾乎所有計算）。 顯然，FT，STFT或CWT都無法通過使用解析方程，積分等來實際計算。因此，有必要離散化變換。 就像在FT和STFT中一樣，最直觀的方法是簡單地對時頻（比例）平面進行取樣。 再次直觀地講，以均勻的取樣率取樣平面聽起來是最自然的選擇。 但是，在WT的情況下，可以使用縮放比例降低取樣率。

根據Nyquist的規則，在"high scale"（較低的頻率）下，可以降低取樣率。 換句話說，如果需要"scale" s 1 \boldsymbol {s_1} s1​以 N 1 \boldsymbol {N_1} N1​的取樣率對時標平面進行取樣，則可以在以下時間以 N 2 \boldsymbol {N_2} N2​的取樣率對同一平面進行取樣 縮放 s 2 \boldsymbol {s_2} s2​，其中 s 1 < s 2 \boldsymbol {s_1 <s_2} s1​<s2​（對應於頻率 f 1 > f 2 \boldsymbol {f_1> f_2} f1​>f2​）和 N 2 < N 1 \boldsymbol {N_2 <N_1} N2​<N1​。 N 1 \boldsymbol {N_1} N1​和 N 2 \boldsymbol {N_2} N2​之間的實際關係為:

N 2 = s 1 s 2 N 1 N_2 = \frac{s_1}{s_2} N_1 N2​=s2​s1​​N1​···········································································(3.20)

N 2 = f 2 f 1 N 1 N_2 = \frac{f_2}{f_1} N_1 N2​=f1​f2​​N1​···········································································(3.21)

換句話說，在較低的頻率下，可以降低取樣率，這將節省大量的計算時間。

然而，此時應注意，就訊號分析而言，離散化可以任何方式進行而沒有任何限制。 如果不需要合成，則甚至不需要滿足奈奎斯特標準。 當且僅當需要訊號重構時，對離散化和取樣率的限制才變得重要。 奈奎斯特的取樣率是允許從其離散取樣中重建原始連續時間訊號的最小取樣率。 由於這個原因，前面提到的基向量特別重要。

如前所述，滿足方程式3.18的小波 ψ （ τ ， s ） \boldsymbol {\psi（\tau，s）} ψ（τ，s）允許通過方程式3.17重構訊號。 但是，對於連續變換而言確實如此。 問題是：如果離散化時間和比例引數，我們還能重構訊號嗎？ 在某些條件下，答案是“是”（正如他們在商業廣告中經常說的：有一定的限制！！！）。

比例引數s首先在對數網格上離散。 然後將時間引數相對於比例引數離散化，即每個比例使用不同的取樣率。 換句話說，取樣是在圖3.17所示的二元取樣網格上完成的：

將軸所覆蓋的區域視為整個時間刻度平面。 CWT為該平面上的連續點分配一個值。因此，存在無限數量的CWT係數。首先考慮比例軸的離散化。在對數無限的點中，使用對數規則僅取有限數。對數的底數取決於使用者。由於其便利性，最常見的值為2。如果選擇2，則僅刻度2、4、8、16、32、64等。計算。如果值為3，則刻度分別為3、9、27、81、243等。本來可以算出來的。然後根據比例軸的離散化時間軸。由於離散比例的變化是2倍，因此在每個比例上，時間軸的取樣率都會降低2倍。

注意，在最小刻度（s = 2）上，僅取樣了時間軸的32個點（對於圖3.17中給出的特殊情況）。在下一個標度值s = 4處，由於標度增加了2倍，因此時間軸的取樣率降低了2倍，因此僅採集了16個樣本。下一步，s = 8，並及時獲取8個樣本，依此類推。

儘管它被稱為時間尺度平面，但將其稱為平移尺度平面更為精確，因為變換域中的“時間”實際上對應於小波在時間上的移動。對於小波系列，實際時間仍然是連續的。

與連續傅立葉變換，傅立葉級數和離散傅立葉變換之間的關係相似，存在連續小波變換，半離散小波變換（也稱為小波級數）和離散小波變換。

用數學術語表示上述離散化過程，比例離散化為 s = s 0 j \boldsymbol {s = s_0 ^ j} s=s0j​，翻譯離散化為 τ = k ⋅ s 0 j ⋅ τ 0 \boldsymbol {\tau = k \cdot s_0 ^ j \cdot \tau_0} τ=k⋅s0j​⋅τ0​其中 s 0 > 1 \boldsymbol {s_0> 1} s0​>1和 τ 0 > 0 \boldsymbol {\tau_0> 0} τ0​>0。 請注意，翻譯離散化如何依賴於帶有 s 0 \boldsymbol {s_0} s0​的小數位數離散化。

連續小波函式:

ψ τ , s = 1 s ψ ( t − τ s ) \psi_{\tau, s} = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t - \tau}{s} \right) ψτ,s​=s ​1​ψ(st−τ​)································································(3.22)

ψ j , k ( t ) = s 0 − j 2 ψ ( s 0 − j − k τ 0 ) \psi_{j, k}(t) = s_0^{\frac{-j}{2}} \psi \left( s_0^{-j} - k \tau_0 \right) ψj,k​(t)=s02−j​​ψ(s0−j​−kτ0​)·················································(3.23)

通過插入 s = s 0   j \boldsymbol{s = s_0^{\, j}} s=s0j​和 τ = k ⋅ s 0   j ⋅ τ 0 \boldsymbol{\tau = k \cdot s_0^{\, j} \cdot \tau_0} τ=k⋅s0j​⋅τ0​。

如果 { ψ ( j ,   k ) } \boldsymbol{ \left\{ \psi_{(j, \, k)} \right\} } {ψ(j,k)​}構成正交基，則小波級數變換變為

Ψ x ψ   j , k = ∫ x ( t )   ψ j ,   k ∗ ( t )   d t \Psi^{\psi_{\, j,k}}_x = \int x(t) \, \psi^*_{j, \, k}(t) \, dt Ψxψj,k​​=∫x(t)ψj,k∗​(t)dt······················································(3.24)

或者：

x ( t ) = c ψ ∑ j ∑ k Ψ x ψ   j , k   ψ   j , k ( t ) x(t) = c_\psi \sum\limits_{j} \sum\limits_{k} \Psi^{\psi_{\, j,k}}_x \, \psi_{\, j,k} (t) x(t)=cψ​j∑​k∑​Ψxψj,k​​ψj,k​(t)············································`···(3.25)

小波級數要求 ψ ( j ,   k ) \boldsymbol{ {\psi_{(j, \, k)}} } ψ(j,k)​可以是正交，雙正交或框架。 如果 ψ ( j , k ) \boldsymbol{ {\psi_{(j,k)}} } ψ(j,k)​不正交，則公式3.24變為:

Ψ x ψ   j , k = ∫ x ( t )   ψ ( j ,   k ) ∗ ( t ) ^   d t \Psi^{\psi_{\, j,k}}_x = \int x(t) \, \hat{\psi^*_{(j, \, k)}(t)} \, dt Ψxψj,k​​=∫x(t)ψ(j,k)∗​(t)^​dt····················································(3.26)

其中 ψ j ,   k ∗ ( t ) ^ \boldsymbol{\hat{\psi_{j, \, k}^*(t)}} ψj,k∗​(t)^​是雙雙正交基或雙幀（請注意，*表示共軛）。

如果 { ψ ( j ,   k ) } \boldsymbol{ \{ \psi_{(j, \, k)} \} } {ψ(j,k)​}是正交或雙正交的，則該變換將是非冗餘的，就好像它們形成一個幀一樣，該變換將是冗餘的。 另一方面，查詢框架比查詢正交或雙正交底物容易得多。

以下類推可能會清除此概念。 將整個過程視為檢視特定物件。 人眼首先確定粗略檢視，該粗略檢視取決於眼睛到物體的距離。 這對應於調整比例引數 s 0 − j \boldsymbol {s_0 ^ {-j}} s0−j​。 當觀看非常接近的物體時，其細節非常豐富，j為負且較大（低比例，高頻，分析訊號中的細節）。 非常緩慢地移動頭部（或眼睛），並以很小的增量（根據所觀察的物件，其角度，距離）相應於 τ = k ⋅ s 0   j ⋅ τ 0 \boldsymbol{\tau = k \cdot s_0^{\, j} \cdot \tau_0} τ=k⋅s0j​⋅τ0​。 請注意，當j為負且較大時，它對應於時間 τ \boldsymbol {\tau} τ的小變化（高取樣率）和 s 0   j \boldsymbol{s_0^{\, j}} s0j​的大變化（小比例，高頻 ，其中取樣率很高）。 比例引數也可以認為是放大倍數。

取樣率有多低，仍然允許訊號重構？ 這是優化程式要回答的主要問題。 發現最方便的值（就程式設計而言）對於 s 0 s_0 s0​為“ 2”，對於 τ \tau τ為“ 1”。 顯然，當取樣率被迫儘可能低時，可用正交小波的數量也會減少。

本章中給出的連續小波變換示例實際上是給定訊號的小波序列。 根據訊號選擇引數。 由於不需要重建，因此對於不同的示例，取樣率有時遠低於臨界值，其中 s 0 s_0 s0​從2變為10， τ 0 \tau_0 τ0​從2變為8。

到此結束本教程的第三部分。 希望您現在對小波變換的全部內容有一個基本的瞭解。 但是，還有一件事需要討論。 即使離散小波變換可以在計算機上進行計算，根據訊號大小和所需的解析度，此計算可能需要幾秒鐘到幾小時不等。 實際上，一種驚人的快速演算法可用於計算訊號的小波變換。 離散小波變換（DWT）在本教程的最後一章的第四部分中介紹。