BZOJ-2154 Crash的數字表格

題目傳送門1
題目傳送門2

解法

請注意！下文中預設 \(n\leq m\) ！！！
一步一步推：

\[\begin{aligned} f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \operatorname{lcm}(i,j) \\f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \frac{i\cdot j}{\gcd(i,j)} \\f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \gcd(i,j)\cdot\frac{i}{\gcd(i,j)}\cdot\frac{j}{\gcd(i,j)} \end{aligned}\]

我們調整一下列舉順序可得（\(d\) 表示 \(\gcd\)）：

\[\begin{aligned} f(n,m)=&\sum\limits_{d=1}^n d\cdot \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [\gcd(i,j)=1]i\cdot j \end{aligned}\]

我們先不管前面的部分，設 \(g(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} [\gcd(i,j)=1]i\cdot j\) 我們看到 \([\gcd(i,j)=1]\)

自然可以想到用 \(\varepsilon\) 表示，再用 \(\mu\ast 1\) 來表示：

\[\begin{aligned} g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} \varepsilon(\gcd(i,j))\cdot i\cdot j \\g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} (\mu\ast 1)(\gcd(i,j))\cdot i\cdot j \\g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)} \mu(d)\cdot i\cdot j \end{aligned}\]

故技重施，我們還是先列舉 \(d\)：

\[\begin{aligned} g(n,m)=&\sum\limits_{d=1}^n\mu(d)\cdot\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} (d\cdot i)\cdot(d\cdot j) \\g(n,m)=&\sum\limits_{d=1}^n\mu(d)\cdot d^2\cdot\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} i\cdot j \end{aligned}\]

我們再次剝離式子，設 \(h(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} i\cdot j\)

\[\begin{aligned} h(n,m)=&(\sum\limits_{i=1}^{n} i)\cdot(\sum\limits_{j=1}^{m} j) \\h(n,m)=&\frac{n*(n+1)}{2}\cdot\frac{m*(m+1)}{2} \end{aligned}\]

好的我們的式子已經推到了可以用 \(O(1)\) 時間可以求解的式子了，我們再來一步一步帶回去。

\[g(n,m)=\sum\limits_{d=1}^n\mu(d)\cdot d^2\cdot h(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor) \]

可以用數論分塊解決，\(\mu(d)\cdot d^2\) 可以用字首和來維護。

\[f(n,m)=\sum\limits_{d=1}^n d\cdot g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor) \]

真巧，還是數論分塊。總時間複雜度 \(O(n+m)\)

//Don't act like a loser.
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int maxn=1e7+10,mod=20101009; 

int n,m,mu[maxn],p[maxn/3],cnt,s[maxn];
bool is[maxn];

void sieve(int n) {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!is[i]) {
			p[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		
		for(int j=1;j<=cnt;j++) {
			if(i*p[j]>n) {
				break;
			}
			is[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) {
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			mu[p[j]*i]=-mu[i];
		} 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		s[i]=(s[i-1]+(mu[i]+mod)%mod*i%mod*i%mod)%mod;
	}
}

int h(int n,int m) {
	return (n*(n+1)/2)%mod*(m*(m+1)/2%mod)%mod;
}
int g(int n,int m) {
	int ret=0,j;
	for(int i=1;i<=n;i=j+1) {
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret+=(s[j]-s[i-1]+mod)%mod*h(n/i,m/i)%mod;
		ret%=mod; 
	}
	return ret;
}
int f(int n,int m) {
	int ret=0,j;
	for(int i=1;i<=n;i=j+1) {
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret+=(j-i+1)*(i+j)/2%mod*g(n/i,m/i)%mod; 
		ret%=mod;
	}
	return ret;
}

signed main() {
	cin>>n>>m;
	
	if(n>m) {
		swap(n,m);//這一步至關重要！！！
	}
	sieve(n);
	
	printf("%lld\n",f(n,m));
	return 0;
}