摘要

本文驗證了語義分割任務下，單通道輸出和多通道輸出時，使用交叉熵計算損失值的細節問題。對比驗證了使用簡單的函式和自帶損失函式的結果，通過驗證，進一步加強了對交叉熵的理解。

交叉熵損失函式

交叉熵損失函式的原理和推導過程，可以參考這篇博文，在本文，我們直接給出計算公式：

其中 $ p$ 為預測的概率，\(q∈[0,1]\)， \(q\) 為標籤，\(q∈\{0,1\}\)。

也就是說，對於任意一個要分類的元素，有 \(p\) 概率將其預測為標籤 1對應類別的元素；有 \(1-p\) 概率將其預測為標籤 0對應類別的元素（即除了前述類別外的所有其他元素）。

單通道輸出時的交叉熵損失計算

首先，假設我們研究的是一個二分類語義分割問題。

網路的輸入是一個 2×2 的影象，設定 batch_size 為 2，網路輸出單通道特徵圖。網路的標籤也是一個 2 ×2 的二進位制掩模圖（即只有0和1的單通道影象）。

我們在 pytorch 中將其定義：

import torch

# 假設輸出一個 [batch_size=2, channel=1, height=2, width=2] 格式的張量 x1
x1 = torch.tensor(
    [[[[ 0.43, -0.25],
        [-0.32, 0.69]]],

        [[[-0.29, 0.37],
          [0.54,  -0.72]]]])

# 假設標籤影象為與 x1 同型的張量 y1
y1 = torch.tensor(
    [[[[0., 0.],
        [0., 1.]]],

        [[[0., 0.],
          [1.,  1.]]]])
 

在進行交叉熵前，首先需要做一個 sigmoid 操作，將數值壓縮到0到1之間：

# 根據二進位制交叉熵的計算過程
# 首先進行sigmoid計算，然後與標籤影象進行二進位制交叉熵計算，最後取平均值，即為損失值

# 1. sigmoid
s1 = torch.sigmoid(x1)
s1

'''
out:
tensor([[[[0.6059, 0.4378],
          [0.4207, 0.6660]]],


        [[[0.4280, 0.5915],
          [0.6318, 0.3274]]]]
'''

然後進行交叉熵計算，由於計算的是每個畫素的損失值，所以要取個平均值：

# 2.交叉熵計算
loss_cal = -1*(y1*torch.log(s1)+(1-y1)*torch.log(1-s1))
loss_cal_mean = torch.sum(loss_cal)/torch.numel(loss_cal)
loss_cal_mean

'''
out:
tensor(0.6861)
'''

為了驗證結果，我們使用 pytorch 自帶的二進位制交叉熵損失函式計算：

# 使用torch自帶的二進位制交叉熵計算
loss_bce = torch.nn.BCELoss()(s1,y1)
loss_bce

'''
out:
tensor(0.6861)
'''

當計算損失值前沒有進行 sigmoid 操作時，pytorch 還提供了包含這個操作的二進位制交叉熵損失函式：

# 使用帶sigmoid的二進位制交叉熵計算
loss_bce2 = torch.nn.BCEWithLogitsLoss()(x1,y1)
loss_bce2

'''
out:
tensor(0.6861)
'''

可以看到，我們使用了三種方式，計算了交叉熵損失，結果一致。

多通道輸出時的交叉熵損失計算

首先，假設我們研究的是一個二分類語義分割問題。

網路的輸入是一個 2×2 的影象，設定 batch_size 為 2，網路輸出多（二）通道特徵圖。網路的標籤也是一個 2 ×2 的二進位制掩模圖（即只有0和1的單通道影象）。

我們在 pytorch 中將其定義：

# 假設輸出一個[batch_size=2, channel=2, height=2, width=2]格式的張量 x1
x1 = torch.tensor([[[[ 0.3164, -0.1922],
          [ 0.4326, -1.2193]],

         [[ 0.6873,  0.6838],
          [ 0.2244,  0.5615]]],


        [[[-0.2516, -0.8875],
          [-0.6289, -0.1796]],

         [[ 0.0411, -1.7851],
          [-0.3069, -1.0379]]]])

# 假設標籤影象為與x1同型，然後去掉channel的張量 y1 （注意兩點，channel沒了，格式為LongTensor）
y1 = torch.LongTensor([[[0., 1.],
         [1., 0.]],

        [[1., 1.],
         [0., 1.]]])

在進行交叉熵前，首先需要做一個 softmax 操作，將數值壓縮到0到1之間，且使得各通道之間的數值之和為1：

# 1.softmax
s1 = torch.softmax(x1,dim=1)
s1

'''
out:
tensor([[[[0.4083, 0.2940],
          [0.5519, 0.1442]],

         [[0.5917, 0.7060],
          [0.4481, 0.8558]]],


        [[[0.4273, 0.7105],
          [0.4202, 0.7023]],

         [[0.5727, 0.2895],
          [0.5798, 0.2977]]]])
'''

對於標籤圖，由於其張量的形狀與網路輸出張量不一樣，因此需要做一個one-hot轉換：

# 2.one-hot
y1_one_hot = torch.zeros_like(x1).scatter_(dim=1,index=y1.unsqueeze(dim=1),src=torch.ones_like(x1))
y1_one_hot

'''
out:
tensor([[[[1., 0.],
          [0., 1.]],

         [[0., 1.],
          [1., 0.]]],


        [[[0., 0.],
          [1., 0.]],

         [[1., 1.],
          [0., 1.]]]])
'''

這裡需要重點理解這個scatter_函式，他起到的作用十分關鍵，one-hot 轉換時，其實可以理解為將一個同型的全1矩陣中的元素，有選擇性的複製到全0矩陣中的過程，這裡的選擇依據就是我們的標籤圖，它決定了哪個位置和通道上的元素取值為 1 。在scatter_ 函式中，dim 決定了用於確定我們在哪個維度上開始定位要建立聯絡的元素，** **是我們選擇的依據。

按照交叉熵定義，繼續計算：

# 交叉熵計算
loss_cal = -1 *(y1_one_hot * torch.log(s1) + (1-y1_one_hot) * torch.log(1-s1)) 
loss_cal_mean = torch.sum(loss_cal)/torch.numel(s1)
loss_cal_mean

'''
out:
tensor(0.9823)
'''

我們也可以使用 pytorch 自帶的交叉熵損失函式計算：

loss_ce = torch.nn.CrossEntropyLoss()(x1,y1)
loss_ce

'''
tensor(0.9823)
'''

可以看到，兩種方式結果一樣。

結論

• 交叉熵本質上將一群物件擇其一進行研究，自然就變成一個二進位制問題，即是這個物件或不是這個物件，然後將標籤與概率融進公式中，計算損失值。對於每一個物件都可以計算一個損失值，求個平均值就是最後這個群體的損失值了。

• 不論是sigmoid或者softmax，我們都是在有目的將資料規整到0到1之間，從而形成一個概率值，sigmoid針對的是二分類問題，因此算出一個概率，另一個用一減去就到了。多分類問題，由於最後會輸出對應數量的值，softmax 能夠將這些值轉換到0到1，並滿足加起來等於1。

• 對於二分類語義分割問題，其實採用上述兩種方式都是可以的。

參考資料

[1] pytorch中的 scatter_()函式使用和詳解

[2] pytorch交叉熵使用方法