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今天的演算法實驗課是關於最長上升子序列的，總結一下。

概念

首先需要知道，子串和子序列的概念，我們以字元子串和字元子序列為例，更為形象，也能順帶著理解字元的子串和子序列：

1. 字元子串指的是字串中連續的n個字元，如abcdefg中，ab，cde，fg等都屬於它的字串。
2. 字元子序列指的是字串中不一定連續但先後順序一致的n個字元，即可以去掉字串中的部分字元，但不可改變其前後順序。如abcdefg中，acdg，bdf屬於它的子序列，而bac，dbfg則不是，因為它們與字串的字元順序不一致。

知道了這個，數值的子序列就很好明白了，即用陣列成的子序列。這樣的話，最長上升子序列也很容易明白了，歸根結底還是子序列，然後子序列中，按照上升順序排列的最長的就是我們最長上升子序列了。

最長上升子序列（Longest Increasing Subsequence），簡稱LIS，也有些情況求的是最長非降序子序列，二者區別就是序列中是否可以有相等的數。假設我們有一個序列bi，當b1 < b2 < … < bS的時候，我們稱這個序列是上升的。對於給定的一個序列(a1, a2, …, aN)，我們也可以從中得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，這裡1<=i1<i2<…<iK<=N，但必須按照從前到後的順序。比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，我們就會得到一些上升的子序列，如(1,7,9), (3,4,8), (1,3,5,8)等等，而這些子序列中最長的（如子序列(1,3,5,8)），它的長度為4，因此該序列的最長上升子序列長度為4。

還有一個非常重要的問題：請大家用集合的觀點來理解這些概念，子序列、公共子序列以及最長公共子序列都不唯一，但很顯然，對於固定的陣列，雖然LIS序列不一定唯一，但LIS的長度是唯一的。再拿我們剛剛舉的栗子來講，給出序列 ( 1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，易得最長上升子序列長度為4,這是確定的，但序列可以為 ( 1, 3, 5, 8 ), 也可以為 ( 1, 3, 5, 9 )。

例子

輸入： 2 3 6 1 7 4 10 8 9

設maxlength[i]儲存以第i個元素結束的子問題最長上升子序列的長度

程式碼

#include <iostream>
using namespace std;

void LISLength(int a[], int n) {
	int *maxlength = new int[n];	// 定義一個儲存到每一位元素為止的最長子序列長度的動態陣列
	*(maxlength+0) = 1;	// 設定第一個元素的值為1，及最小時為1
	int max = 1;	// 儲存最大最長子序列長度，初始化為1，及最小為1

	// 遍歷每一位元素，儲存到每一位元素前的最長子序列長度
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int max_t = 0;	// 初始化每一次的最長子序列長度
		// 當前元素與之前元素的比較
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			// 當遍歷元素大於其前面的此元素，且大於遍歷過的最長子序列長度時
			if (a[i] > a[j] && *(maxlength+j) > max_t) {
				max_t = *(maxlength + j);	// 更新最長子序列長度
				*(maxlength + i) = *(maxlength + j) + 1;	// 到該遍歷元素的最長子序列長度
			}
			// 當遍歷元素小於前面所有的元素時，設定到該遍歷元素的最長子序列長度 為 1
			else if(max_t == 0 && j == i -1)
			{
				*(maxlength + i) = 1;
			}
		}
		// 更新最長子序列長度值
		if (*(maxlength + i) > max)
			max = *(maxlength + i);
	}

	cout << "最長子序列長度：" << max << endl;

	delete[] maxlength;	// 銷燬動態陣列
}

int main() {
	int n = 0;
	cout << "請輸入陣列大小：" << endl;
	cin >> n;
	int* arr = new int[n];	// 定義動態陣列
	cout << "請輸入資料：" << endl;
	// 輸入陣列資料
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> *(arr+i);
	}

	LISLength(arr, n);

	delete[] arr;	// 銷燬動態陣列

	return 0;
}

效果