數論基礎篇
數論
一、整除
\(b=k\times a(k\in \mathbb Z)\Leftrightarrow a|b\Leftrightarrow\) \(\color{red} a 是 b 的因子\)。
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性質： \(a|b\) 且 $a|c\Leftrightarrow $ \(a|(ma+nb),m,n\in \mathbb Z\)
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猜結論，從 “因子” 的角度證明。
二、同餘
\(a\equiv b\mod m\Leftrightarrow \color{red} m|(a-b)\)
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性質
(1) 加減： \(a\equiv x,b\equiv y\Rightarrow a\pm b\equiv x\pm y\)
(2) 乘：
\[\qquad\begin{cases}a\equiv x,b\equiv y\Rightarrow ab\equiv xy\\a\equiv b \Rightarrow a^k\equiv b^k\end{cases} \](3) 除：
\[\qquad\begin{cases}ac\equiv bc \mod m~且~m\perp c\Rightarrow a\equiv b \mod \\a\equiv b \mod m~且~d~|~a,b,m \Rightarrow \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d} \mod \frac{m}{d} \end{cases} \](4) 因數： \(a\equiv b\mod m\Rightarrow a\equiv b \mod n,n|m\)
(5) 倍數： \(a\equiv b \mod m,n\Rightarrow a\equiv b\mod [m,n]\)
(6) 結合律：
\(\color{red}(a\pm b)\% m = (a\%m\pm b\%m) \%m\)
$\color{red}(a\times b)\%m = (a\% m\times b\%m)\%m$(7) \(\color{red}\large乘法逆元\) ：
當 \(\color{red}a\perp m\) 時，記模 \(m\)
意義下 \(inv_i\) 為滿足： \(i\times inv_i\equiv 1\mod m\) 的整數。 求法：
<1>蒙哥馬利：當 \(m\) 為質數時， \(inv_x=x^{m-2}\) 。
證明：由費馬大定理， \(m\) 為質數時 \(x^{m-1}\equiv 1\) ，則 \(x^{m-2}\equiv x^{-1}\) 。
<2>歐幾里得求法
設 \(x=inv_a\) ，那麼要解 \(ax\equiv 1\mod m\) ，等效於解 \(ax+bm=1\) 。最後調整 \(x\) 到 \([1,m-1]\) 。
<3>線性推逆元
設 \(\rm s=P/x,t=P%x\) ，則 \(\rm P=sx+t\equiv 0 \mod P\) ，移項得 \(\frac{1}{x}\equiv \frac{-s}{t}\)
<4>線性推階乘逆元
由於 \(i!~inv_{i!}\equiv 1\equiv (i+1)!~inv_{(i+1)!}\) ，則 \(inv_{i!}=(i+1)\times inv_{(i+1)!}\)
由 整除 推性質。
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*一些定義
(1) 同餘類：模 \(m\) 意義下 \(x\) 的同餘類定義為：由所有在模 \(m\) 意義下等於 \(x\) 的陣列成的集合。這樣的集合共 \(m\) 個。
(2) 完全剩餘系：由模 \(m\) 的的 \(m\) 個同餘類中分別取出一個數組成模 \(m\) 的一個完系。
在完系中，任意兩個數模 \(m\) 互不同餘。
(3) 縮剩餘系：在完系中保留所有與 \(m\) 互質的數。
縮系大小為 \(\phi(m)\) ，且縮系中任意兩個元素 \(\times 或/\) 的結果仍然是某個縮系元素的同餘類。
性質：
(1) 若 \(a_{1,2...m}\) 是模 \(m\) 下的一個完系，且 \(x\perp m\) ，那麼 \(xa_i+b\) 也是完系。
若 \(a_i\) 為一個縮系且 \(x\perp m\) ，那麼 \(xa_i+b\) 也是縮系。
(2) 若 \(a_i\) 為一個完系，則 $$\sum a_i\equiv \frac{m(m+1)}{2}\mod m$$
(3) 若 \(a_i,b_i\) 均為縮系，則 $$\prod a_i\equiv \prod b_i \mod m$$
這些東西和一些東西的證明有關，比如：尤拉定理、原根等等。不要求完全掌握。
三、素數
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算術基本定理：
任意數可唯一拆解為 \(x=\prod p_i^{\alpha_i}\) ，其中 \(p_i\) 為質數， \(\alpha_i\in \mathbb N\) 。
拓：
(1) 約數個數：\(\prod(a_i+1)\)
(2) 約數和： \(\prod (1+p_i^1+p_i^2+...p_i^{\alpha_i})=\prod \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}\)
(3) \((a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)},[a,b]=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}\)
\((a,b)\times [a,b]=ab\)
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質數的判定
定理：\(n\) 以內素數個數隨 \(n\) 的增大逐漸逼近 \(\frac{n}{ln~n}\) 。
(1) 樸素判定
定理：如果 \(n\) 是合數，那麼一定存在一個 \(\le \sqrt{n}\) 的質數是它的因子。
列舉所有 \(\le \sqrt n\) 的數，判斷其是不是 \(n\) 的因子即可。 \(\mathcal O(\sqrt n)\)
(2) 埃氏篩
對於每個素數，把它的所有倍數篩去。
rep(i,1,n)if(!p[i]) for(int j=p[i]+p[i];j<=n;j+=p[i]) p[j]=1; 定理： \(\sum_{p\le n}\frac{1}{p}=\log \log n\)
所以埃氏篩複雜度為 \(\mathcal O(n\log \log n)\) 。 埃氏篩的優勢：能夠比較準確地 運用某些數 來篩去 某個範圍內的值 。
經典例題：給定常數 \(K\) ，定義一個滿足 \(x>1\) 且 \(\forall i \in [2,min(K,x-1),i\nmid x\) 的數 \(x\) 為類質數，求 \([L,R]\) 所有類質數的和。 \(\rm L,R\le 10^9,R-L\le 10^7\) 。於是我們先求出所有 \(\le K\) 的質數，再用這些數去篩掉 \([L,R]\) 中的數。
(3) 尤拉篩
注意到埃氏篩中很多數被多個素數篩掉，我們改進一下使得每個數只被其最小的質因子篩掉。這就是尤拉篩。
```
rep(i,1,n){
if(!p[i])pr[++cnt]=i;
rep(j,1,cnt){
if(i*pr[j]>n)break;
p[i*pr[j]]=1;
if(i%pr[j]==0)break;
}
}
```
複雜度 \(\mathcal O(n)\)
(4) \(\rm Miller-Rabin\) 素數判定
<1> 前置：
費馬小定理： \(p\) 為質數時， \(\forall a,a^{p-1}\equiv 1\mod p\) 。
費馬素數檢測： \(a^{p-1}\equiv 1\mod p\) 是 \(p\) 為素數的充分不必要條件。
二次探測定理：當 \(p\) 為素數時， \(x^2\equiv 1\mod p\) 當且僅當 \(x=1或p-1\) 。那麼我們可以記錄 \(y=x^2\) ，如果 \(y=1\) 但是 \(x\ne1或p-1\) ，那麼 \(p\) 就不是素數。
<2> 實現：
i. 直接判斷 0,1,2 和偶數。
ii. 將 \(p-1\) 拆分成 \(2^k\times t\) 的形式，方便二次探測。
iii. 隨機一個 \(\le p-1\) 的 \(a\) ，初始 \(x=a^t\%p\) ，不斷二次探測，共進行 \(k\) 次。
iiii. 最後 \(x=a^{p-1}\) ，檢測 \(x\) 是否與 \(1\) 同餘。
iiiii. 返回 iii ，進行 \(10\) ~ \(20\) 次。
bool pd(int p){
if(p<=1)return false;
if(p==2)return true;
if(!(p&1))return false;
int k=0,t=p-1;
while(!(t&1))t>>=1,++k;
rep(i,1,10){
int a=random(p-1);
int x=kpow(a,t,p);
rep(j,1,k){
int y=x*x%p;
if(y==1&&x!=1&&x!=p-1)return false;
x=y;
}
if(x!=1)return false;
}return true;
}
雖然是個隨機化演算法，但是檢測很多次後基本上能保證正確性。複雜度 \(\mathcal O(n^{\frac{1}{4}})\) 。
四、重要數論定理及演算法
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歐幾里得演算法與擴充套件歐幾里得演算法
(1) 歐幾里得演算法求 \(gcd\) ：
若 \(d~|~a,d~|~b\) ，則 \(d~|~(ax+by)\) ，那麼一定滿足 \(d~|~(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)\) ，那麼 \(d~|~gcd(a,b)\) 。所以 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) 。
\(a\to a\%b\) ，首先 \(a\ge b\) ，在值域上每 \(b\) 分段，那麼無論 \(a\) 在哪一段，都滿足 \(a\%b\le \frac{a}{2}\) 。所以每次遞迴中，大的那個數至少減半，複雜度 \(\mathcal O(\log(a+b))\) 。
(2) 擴充套件歐幾里得演算法解丟番圖方程：
<1> 丟番圖方程：形如 \(a_1x_1+a_2x_2+...a_nx_n=c\) 的不定方程。這裡只考慮 \(ax+by=c\) 。
<2> 裴蜀定理：丟番圖方程有解的充要條件為 \(gcd(a_1,x_2...a_n)|c\) 。
<3> 擴充套件歐幾里得演算法：解 \(ax+by=(a,b)\) 得出一組整數解。
由於 \(ax_1+by_1=(a,b)\) 且 \((a,b)=(b,a\%b)\) ，那麼 \(ax_1+by_1=bx_2+a\%by_2\) 。
又因為 \(bx_2+a\%by_2=bx_2+ay_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=y_2a+(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)b\) 。
換主元，係數相同一定是一組解，那麼 \(\begin{cases}x_1=y_2\\y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\end{cases}\) ，遞迴處理即可。
邊界為 \(b=0\) 時， \(x=1,y=0\) 。
通解：\(\begin{cases}x=x_0+t\times \frac{b}{(a,b)}\\y=y_0-t\times \frac{a}{(a,b)}\end{cases},t\in \mathbb Z\) 。
\(ax+by=c\) 若 \(c\ne (a,b)\) ，相當於解 \(ax+by=k\times (a,b)\) 即 \(ax'+by'=(a,b),x=kx',y=ky'\) 。
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尤拉定理與費馬小定理
(1) 尤拉函式 \(\varphi(n)\) ：\(\sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)==1]\) （小於 \(n\) 的數中與 \(n\) 互質的正整數的個數）
<1> 性質
i. 積性函式：若 \(a\perp b\) ，則 \(\phi(ab)=\phi(a)\times \phi(b)\) 。
ii. \(\sum_{d|n} \varphi(d)=n\)
iii. \(\varphi\times I=id\) （反演中用到）
<2> 求法
i. 通式法： \(\varphi(n)=n\prod_{p_i|n} (1-\frac{1}{p_i})\)
證明：
當 \(n\) 為質數時： \(\varphi(n)=n-1\) 。小於 \(n\) 的所有數都與 \(n\) 互質。
當 \(n=p^k\) 時： \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k\times (1-\frac{1}{p})\) 。 \(n\) 以內只有 \(p\) 的倍數與 \(n\) 不互質，而 \(p\) 的倍數有 \(p,2p,3p...p^{k-1}\cdot p\) 共 \(p^{k-1}\) 個。
當 \(n\) 一般時，將 \(n\) 唯一分解為 \(\prod_{p_i|n} p_i^{\alpha_i}\) 。由於 \(\varphi\) 為積性函式，則
$$\varphi(n)=\prod_{p_i|n} \varphi(p_i^{\alpha_i})=\prod_{p_i|n} p_i^{\alpha_i}\times (1-\frac{1}{p_i})=n\times \prod_{p_i|n} (1-\frac{1}{p_i})$$
證畢。
ii. 尤拉篩
當 \(x\) 為質數時， \(\varphi(x)=x-1\)
當 \(x=i\times p_j\) 且 \(i\perp p_j\) 時，由積性函式， \(\varphi(x)=\varphi(i)\times \varphi(p_j)\) 。
當 \(x=i\times p_j\) 且 \(i\%p_j\ne0\) 時， \(\varphi(x)=p_j\times \varphi(i)\) 。
理解：由通式，在 \(i\) 基礎上多乘一個 \(p_j\) 並不改變 \(\prod_{p_i|n}(1-\frac{1}{p_i})\) ，只是使 \(n=i\to i\times p_j\) 。
(2) 尤拉定理： \(\color{red}a\perp m\) 時， \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\mod m\)
證明：設 \(x_i,i\in[1,\varphi(m)]\) 是模 \(m\) 意義下的一個縮系，若 \(a\perp m\) ，那麼 \(ax_i\) 也是一個縮系。（性質 (1) ）
根據縮系的性質 (3) ， \(\prod x_i\equiv\prod ax_i \mod m\)
又因為 \(\prod ax_i=a^{\varphi(m)}\prod x_i\) ，所以 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1 \mod m\) 。
(3) 費馬小定理：當 \(m\) 為質數時， \(a^{m-1} \equiv 1 \mod m\) 。尤拉定理是對其的一般化。
(4) *擴充套件尤拉定理：
$$a^b\equiv\begin{cases}a^{b%\varphi(m)},(a,m)=1\ a^b,(a,m)\ne 1,b<\varphi(m)\ a^{b%\varphi(m)+\varphi(m)},(a,m)\ne 1,b\ge\varphi(m) \end{cases} \equiv a^{min(b,b%\varphi(m)+\varphi(m))}$$
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*威爾遜定理： \((p-1)!\equiv -1\mod p\Leftrightarrow p\) 為質數。
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中國剩餘定理 \(\rm (CRT)\)
求一個 \(x\) 滿足 \(\begin{cases}x\equiv a_1\mod m_1\\x\equiv a_2\mod m_2\\\vdots \qquad\vdots\qquad\qquad\vdots\end{cases}\) 。其中 \(\color{red}m_i 互質\)。
解：設 \(S=\prod m_i\) ， \(M_i=\frac{S}{m_i}\) ，\(y_i\) 為模 \(m\) 意義下 \(M_i\) 的逆元。
那麼 \(a_iM_iy_i\equiv \begin{cases}a_i\mod m_i（y_i為逆元）\\ 0\mod m_j,j\ne i（M_i含有m_i的因子）\end{cases}\)
所以 \(x=\sum a_iM_iy_i\) 一定是一個解。通解為 \((\sum a_iM_iy_i)+kS\) 。
*擴充套件中國剩餘定理
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\(\rm Lucas\) 定理
\[\tbinom{n}{m}\%p=\tbinom{n/p}{m/p}\times \tbinom{n\%p}{m\%p}\%p \]