【CF613D】Kingdom and its Cities（重拾虛樹）

阿新 • • 發佈：2020-10-29

點此看題面

給定一棵$n$個點的樹。$q$組詢問，每次選出$k$個關鍵點。
問最少刪除多少非關鍵點才能使得關鍵點兩兩不連通。
$n,\sum k\le10^5$

虛樹

既然這篇部落格打著“重拾虛樹”的名號，自然要提一提虛樹了。。。

考慮我們把所有點按$dfs$序排序，則原本所有的點+排序後相鄰兩點間的$LCA$就是最終虛樹所需的點。

然後我們把這些點再排序一次，並開一個棧，接著列舉每一個點。

首先，把棧中所有不是當前點祖先的點彈掉。則最後的棧頂就是當前點在虛樹上的父節點。
然後，把當前點加到棧中。

感覺還是比較容易理解的。

簡單的求解

這道題建出虛樹後剩下的就很簡單了。

首先很容易判無解，就是看是否有兩個關鍵點直接相連。

不然，我們令$g_x$表示$x$子樹內仍然聯通的點數，根據$x$是否為關鍵點分類討論：

$x$為關鍵點。顯然要把所有點斷開，給答案加上$g_x$，同時給$g_{anc[x]}$加上$1$（無法斷開當前點）。
$x$為非關鍵點。又要分三類討論：
- $g_x=0$：無需操作。
- $g_x=1$：注意我們在這裡把它斷開顯然不會更優，不如轉送給父節點，因此給$g_{anc[x]}$加上$1$。
- $g_x>1$：我們不得不把當前點斷開，因此給$ans$加上$1$。

程式碼：$O((n+\sum k)logn)$

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define LN 20
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
using namespace std;
int n,ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt;}e[N<<1];
namespace VirtualTree//虛樹
{
	int cnt,o[N+5],d,dI[N+5],dO[N+5],dep[N+5],fa[N+5][LN+5];
	I bool cmp(CI x,CI y) {return dI[x]<dI[y];}//根據dfs序排序
	I int LCA(RI x,RI y)//倍增LCA
	{
		RI i;dep[x]<dep[y]&&(x^=y^=x^=y);
		for(i=0;dep[x]^dep[y];++i) (dep[x]^dep[y])>>i&1&&(x=fa[x][i]);if(x==y) return x;
		for(i=LN;~i;--i) fa[x][i]^fa[y][i]&&(x=fa[x][i],y=fa[y][i]);return fa[x][0];
	}
	I void dfs(CI x=1,CI lst=0)//預處理
	{
		RI i;for(dI[x]=++d,i=1;i<=LN;++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&
			(dep[e[i].to]=dep[fa[e[i].to][0]=x]+1,dfs(e[i].to,x),0);dO[x]=d;
	}
	int vis[N+5],S[N+5],anc[N+5],g[N+5];I void Solve()//求解一次詢問的答案
	{
		RI i;for(sort(o+1,o+cnt+1,cmp),i=1;i<=cnt;++i) vis[o[i]]=1;//vis=1表示關鍵點
		#define Ins(x) (!vis[x]&&(vis[o[++cnt]=x]=2))//vis=2表示虛樹上的非關鍵點
		RI x,t=cnt,ans=0;for(i=1;i^t;++i) x=LCA(o[i],o[i+1]),Ins(x);//加入相鄰兩點LCA
		RI T=0;for(sort(o+1,o+cnt+1,cmp),i=1;i<=cnt;++i)//排序後列舉建樹
			{W(T&&dO[o[S[T]]]<dI[o[i]]) --T;anc[i]=S[T],S[++T]=i;}//維護一個棧，求出各點在虛樹上的父節點
		for(i=2;i<=cnt;++i) if(vis[o[anc[i]]]==1)
			if(vis[o[i]]==1&&dep[o[anc[i]]]+1==dep[o[i]]) {puts("-1");goto Cl;}//判無解
		for(i=cnt;i;--i) vis[o[i]]==1?(ans+=g[i],++g[anc[i]]):g[i]&&(g[i]==1?++g[anc[i]]:++ans);//從葉節點向上轉移
		printf("%d\n",ans);Cl:for(i=1;i<=cnt;++i) vis[o[i]]=g[i]=0;cnt=0;//注意多組詢問要清空
	}
}
int main()
{
	using namespace VirtualTree;
	RI i,x,y;for(scanf("%d",&n),i=1;i^n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);dfs();//讀入全樹
	RI Qt;scanf("%d",&Qt);W(Qt--) {for(scanf("%d",&x);x;--x) scanf("%d",o+(++cnt));Solve();}//處理詢問
	return 0;
}