961計組考綱（2）——資料的表示和運算
961計組考綱（2）——資料的表示和運算
這一部分上課的時候根本沒講過，結果一看真題還考了，遂不得已看看，結果也不是很懂。QAQ
數制與編碼
二進位制與十進位制的轉換，不解釋。
值得注意的是，二進位制的小數位只能表示\(1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n\)，因此二進位制無法表示所有的十進位制小數，只能近似表示（所以有了浮點數？）
定點數和浮點數的表示與運算
定點數表示
這裡全都考慮有符號數，假設字長有n+1位
- 原始碼\([-2^n+1, 2^n-1]\)：第一位表示符號，剩下表示絕對值數值，表示範圍
- 反碼\([-2^n+1, 2^n-1]\)：第一位表示符號
- 若是正數，數值位與原始碼相同
- 若是負數，數值位與原始碼按位取反
- 補碼\([-2^n, 2^n-1]\)：正數與原始碼相同，負數則取反碼+1，0只有一種表示，多出來的10000（1後面n個0）可以表示\(-2^n\)，1後面的數值位表示\(-2^n\)後面補上多少絕對值，而原始碼中00000和10000都表示0，顯然不適合程式
- 移碼\([-2^n, 2^n-1]\)：真值加上某個2的冪
定點數運算
補碼機器實現加、減運算的方法統一(模運算-去掉溢位)
- 符號位和數值位按同樣規則參與運算
- 逢二進一
- \([A +B]_{補} = [A]_{補}+[B]_{補} mod(2^{n+1})\)
- \([A-B]_{補} = [A]_{補}+[-B]_{補}mod(2^{n+1})\)
- 運算結果仍是補碼
乘除法：異或運算
- 部分乘積和被乘數取「雙符號位」
浮點數表示法
通常採用\(\mathbf{S} \times 2^{\mathrm{J}}\)
- 階碼J：採用定點整數表示（下面的01000）
- 尾數S：採用定點小數表示（下面的0.10110010001）
IEEE 754標準
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IEEE 754中尾數m採用源碼錶示（理解為科學計數法的基，不帶符號，而且去掉了第一個有效數字1，真是節省儲存空間到了極致），階碼部分用移碼錶示（就是\(E-127\)或者\(E-1023\)，這樣設定的目的可以通過\(E \in [1,254]\)
的取值大小控制正整數和小數部分的表示，） -
單精度浮點數32位，雙精度浮點數64位
為了充分利用尾數，增加資料的表示精度，規格化浮點數最高位必須是有效值（小數點前是1，第1位有效數字）
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單精度浮點數表示公式：\((-1)^{S} \times 1 . m \times 2^{(E-127)}\)
- float所能表示的最大正整數：符號0，階碼取最大值為127（即254-127），令m（23位）尾數全為1時最大，則\(m=2-2^{-23}\)，結果是\((2-2^{-23}) \times 2^{127}=2^{128}-2^{104}\)
- 【為什麼階碼最大隻能取127：IEEE標準偏置值位127時，空出8位全1來表示無窮大，空出全0表示非規格化數，故階E的取值不超過\(2^{8}-2 = 254\)，範圍在1~254之內】
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雙精度浮點數表示公式：\((-1)^{S} \times 1 . m \times 2^{(E-1023)}\)。
恢復成IEEE儲存形式的時候記得不要放錯地方，運算的時候記得把
m寫成1.m再計算啊啊啊
浮點數運算
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浮點數運算的特點是階碼運算和尾數運算分開進行，浮點數的加減運算一律採用補碼。
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浮點數加減運算一般包括：對階、尾數運算、規格化、舍入、判斷溢位
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對階：對階的目的是為使兩個浮點數的尾數能夠進行加減運算，畢竟兩個數指數相同才能提公因式加減啊。
- 顯然，尾數邏輯右移時，捨棄掉的有效位會產生誤差，影響精度
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尾數運算：對階後的尾數按照定點數的規則加減即可
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規格化
- 左規：
- 右規：
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舍入
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判斷溢位
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（2017-961）浮點數除法運算的三個基本步驟：階碼運算、尾數運算、結果規格化
舉個栗子：
https://blog.csdn.net/shuzfan/article/details/53814424