定義：

\(dfn[x]\)：\(x\)第一次被訪問的時間順序（時間戳）

搜尋樹：每個節點只訪問一次，所有訪問過的邊\((x,y)\)構成一棵搜尋樹

\(low[x]\)：定義為以下節點的時間戳的最小值：

\(1.\)\(subtree(x)\)中的節點。

\(2.\)通過\(1\)條不在搜尋樹上的邊，能夠到達\(subtree(x)\)的節點。

程式碼：

void Tarjan(int x)
{
    low[x] = dfn[x] = ++ ind;//初始值
    que[ ++ top] = x;//進隊
    vis[x] = 1;//標記
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i];//列舉x子節點y
		if (!dfn[y])
		{
			Tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);//在子樹中，是x的兒子，直接更新
		}
		else if (vis[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
        //已經訪問過，且y不是x的兒子，因為dfn[y]一定小於dfn[x]，那麼用dfn[y]更新（不用low[y]更新，因為它們不一定在同一個強聯通分量中，防止更新過頭）
    }
    if (dfn[x] == low[x])//形成了一個環，說明x是一個強聯通分量的根
    {
        cnt ++ ;//新的強聯通分量
        int now = -1;
        do
        {
            now = que[top -- ];
            vis[now] = 0;
            col[now] = cnt;//染色，標記now屬於當前強聯通分量cnt
        } while (now != x);//彈出
    }
    return;
}
 

應用

縮點

在跑了一遍Tarjan後，對於原來的每條邊對應的點對\((x,y)\)，若\(col[x]==col[y]\)，說明它們在同一個強聯通分量內，則它們不用在新的圖中連邊，否則要連。

虛擬碼：

for (int x = 1; x <= n; ++ x)
{
    for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
    {
        int y = to[i];
        if (col[x] != col[y]) add(col[x], col[y]);
    }
}

割點/割邊

割點定義：若去掉無向聯通圖的某個點後，此圖不連通，則該點為割點。割邊同理。

判斷方法：

割邊：\(dfn[x]<low[y]\)（說明從\(subtree(y)\)出發，在不經過(x,y)的前提下，無論走那條邊，都無法到達\(x\)或比\(x\)更早的節點，這就是一條割邊）

割點：\(dfn[x]\le{low[y]}\)（和割邊同理。特別地，若\(x\)是搜尋樹根節點，那麼\(x\)是割點當且僅當它存在至少兩個子節點\(y_1,y_2\)滿足條件）

虛擬碼（割點）

if (low[y] >= dfn[x])
{
    t ++ ;		
    if (x != rt || t > 1) cut[x] = 1;	
}