【題解】妞妞的三個盒子
阿新 • • 發佈：2020-11-13
題目背景
妞妞在公園裡遊玩時撿到了很多小球，而且每個球都不一樣。妞妞找遍了全身只發現了 \(3\) 個一模一樣的盒子。她打算把這些小球都裝進盒子裡（盒子可以為空）。她想知道她總共有多少种放法。
問題描述
將 \(N\) 個不同的球放到3個相同的盒子裡，求放球的方案總數 \(M\) 。 結果可能很大，我們僅要求輸出 \(M\bmod K\)的結果。 現在，妞妞已經統計出了 \(N\le10\) 的所有情況。見下表：
| N | M |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 5 |
| 4 | 14 |
| 5 | 41 |
| 6 | 122 |
| 7 | 365 |
| 8 | 1094 |
| 9 | 3284 |
| 10 | 9842 |
輸入格式
兩個整數 \(N\) , \(K\)，\(N\) 表示球的個數。
輸出格式
輸出僅包括一行，一個整數 \(M \bmod K\)。
樣例
輸入樣例
11 10000
輸出樣例
9525
資料範圍與提示
對於 \(40\%\) 資料, \(10\le N\le10,000\) ； 對於 \(100\%\)資料, \(10\le N\le 10^9\) ，\(K\le100000\)。
蒟蒻專屬——找規律！
小心翼翼地，把表格的第二欄乘 \(2\) ~
| N | M' |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 10 |
| 4 | 28 |
| 5 | 82 |
| 6 | 244 |
| 7 | 730 |
| 8 | 2188 |
| 9 | 6568 |
| 10 | 19684 |
再不動聲色，減一個 \(1\)~
| N | M'' |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 9 |
| 4 | 27 |
| 5 | 81 |
| 6 | 243 |
| 7 | 729 |
| 8 | 2187 |
| 9 | 6567 |
| 10 | 19683 |
我們發現，\(M''=3^{N-1}\)，而 \(M=(M''+1)\div2\) ，也就是說，\(M=(3^{N-1}+1)\div 2\) !
這不就好求了嘛。
可恨的是，這辣雞題目居然還要取模！
你說你出道題，別人好不容易把規律找出來了，你還讓別人重學數論！
(╯>皿<)╯((( ┷━━━┷ 掀桌
在無數次 \(BDFS\) 後，我們 \(search\) 到了下面這個公式：
那麼，我們可以得到：
\[M=((3^{N-1}+1)\bmod(2\times m))\div 2 \]斯國一！那麼接下來。。。
Code
#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll n,mod,ans;
ll ksm(ll ds,ll zs){
ll ans=1;
while(zs){
if(zs&1)ans=ans*ds%mod;
ds=ds*ds%mod;
zs>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
freopen("bags.in","r",stdin);
freopen("bags.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&mod);
mod<<=1;
ans=ksm(3,n-1)%mod;
printf("%lld",(((ans+1)%mod)>>1)%mod);
return 0;
}
end.