【資料分析師 Level 1 】3.抽樣分佈及引數估計
【資料分析師 Level 1 】3.抽樣分佈及引數估計
抽樣分佈及引數估計
1.隨機的基本概念
隨機實驗
隨機實驗是概率論的一個基本概念。概括的講，在概率論中把符合下面三個特點的試驗叫做隨機試驗
- 可以在相同的條件下重複的進行
- 每次試驗的可能結果不止一個，並且能事先明確試驗的所有可能結果
- 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現
隨機事件
在概率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦予機率的事物的集合，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定時間可能會出現也可能不會出現；但是當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。
隨機變數
設隨機試驗的樣本空間
S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)
是定義在樣本空間S上的單值實值函式，稱X為隨機變數
2.概率分佈
正態分佈的影象形式
既然介紹變數的分佈情況，就要介紹一下正態分佈。首先，正態分佈是關於均值左右對稱的，呈鐘形，如下圖所示。其次，正態分佈的均值和標準差具有代表性，只要知道其均值和標準差，這個變數的分佈情況就完全知道了。在正態分佈中，均值=中位數=眾數
3.抽樣分佈
中心極限定理
從均值為 μ\muμ,方差為 σ2\sigma^2σ2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，
樣本均值的抽樣分佈近似服從均值為 μ\muμ ,方差為 σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正態分佈
根據中心極限定理，我們知道如果做很多次抽樣的話會得到很多個樣本均值，而這些樣本均值排列起來會形成正態分佈,他們的平均數是μ\muμ,標準差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ 換句話說，有約68% 的樣本均值會落在 μ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±nσ之間，有約 95 %的樣本均值會落在 μ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±2nσ 有約 99.7 %的樣本均值會落在 μ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±3nσ
把上述說法稍微轉換一下就變成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ 會包含著 μ\muμ
有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ會包含著 μ\muμ
有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ會包含著μ\muμ
而這就是抽樣和估計最根本的道理
我們從全體之中以隨機抽樣方式抽取n個樣本，取得樣本觀察值，計算它們的平均數 x‾\overline xx ,然後加減兩倍的 σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ
得到一組上下區間，然後說：我們有95 % 的信心，這個上下區間一定會包含著全體的平均數 μ\muμ。如果我們不放心的話，可以用 x‾\overline xx 加減三倍的 σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ，那麼這組區間包含著 μ\muμ 的置信度就有99.7 %
中心極限定理：不論總體是什麼樣的形狀，只要在假定總體分佈不是很偏的情況下，總體選擇足夠多的情況下，選取的總體樣本均值就可以估計總體樣本均值的指標，抽樣出來的中位數、眾數都可以認為和總體是差不多的，是具有代表性的
引數估計
1.點估計
用樣本平均數 x‾\overline xx 來估計總體的平均數 μ\muμ 稱為點估計
點估計命中目標的機會是極低的，因為只憑著少數樣本觀察值得到的結果
要和全體的平均數吻合幾乎是不可能的事，所以我們除了用點估計，還有區間估計
根據中心極限定理和正態分佈的特性我們知道 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ
這個區間包含著全體平均數 μ\muμ的機會有 68%(簡潔表達，我們省去“約”)
x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ的機會有95%,而 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ的機會有99.7 %,
真正可靠的估計勢必要用區間估計，只有這樣做我們才可以知道估計準確度的程度，而這 68%、95%、99.7%就稱做是置信水平
說的更確切一點，以95 %的置信水平為例，它的意思是：如果我們進行一百次獨立抽樣估計，會有一百個樣本平均數，也會有一百個區間估計，而這一百個區間估計裡會有95個正確地包含著全體平均數 μ\muμ
實際上我們不會做一百次抽樣，而是隻做一次，所以說這一次抽樣而來的區間估計會包含著 μ\muμ的機會是95 %，置信水平越高，估計得區間也就越寬,這是高置信水平所必須付出的代價
2.區間估計
剛剛提到過一個好的估計必須既準又穩，我們用 x‾\overline xx 來估計 μ\muμ，如果做很多次的話，會有很多個 x‾\overline xx
中心極限定理已經給我們保證，這些 x‾\overline xx 的平均數會等於 μ\muμ
所以是[準]的估計已無問題，但是這些 x‾\overline xx是否都靠在一起，是[穩]呢？
這就要看 x‾\overline xx 的標準差了，我們已經知道x‾\overline xx的標準差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ,其中 σ\sigmaσ 是全體的標準差，
n是樣本數，把樣本數加大會使得標準差變小，所以我們馬上領悟到樣本數越大，估計也就越穩。
其次，σ\sigmaσ 是全體資料的標準差，我們並不知道它到底是多少，在區間估計我們也需要用到它，因此為了要知道估計得準確度連全體資料的\sigma也要一起估計才行
至少有兩種方法來估計 σ\sigmaσ 一是用樣本觀察值得標準差 S，S2S^2S2的定義
S2=∑i=1n(Xi−x‾)2n−1S^2 = \frac{\sum^n_{i=1}(X_i - \overline x)^2}{n-1}S2=n−1∑i=1n(Xi−x)2
本章要求我們對抽樣估計的理論、抽樣的多種組織形式的掌握\定必要樣本容量的原因，必要樣本容量的影響因素
明確概率統計的各個知識點與業務環境、資料分析三者間的對應關係
例題
1.根據中心極限定理可知，當樣本容量充分大時，樣本均值的抽樣分佈服從正態分佈，其分佈的均值為（）
A.x‾\overline xx
B. μ\muμ
C.σ2\sigma^2σ2
D.σ22\frac{\sigma^2}{2}2σ2
答案：B
解析：熟悉中心極限定理的概念
2.從均值為 μ\muμ 、方差為 σ2\sigma^2σ2(有限)的任意一個總體抽取大小為n的樣本 則（）
A.當n充分大時，樣本均值 X‾\overline XX的分佈近似服從正態分佈
B.只有當n<30時，樣本均值 X‾\overline XX的分佈近似服從正態分佈
C.樣本均值 X‾\overline XX的分佈與 n無關
D.無論n多大，樣本均值 X‾\overline XX的分佈都為非正態分佈
答案：A
解析：熟悉大數定律
3.某中小企業某部門員工的年齡分佈是右偏的，均值為26，標準差是4.5.如果採取重複抽樣的方法從部門抽取容量為100的樣本，則抽樣均值的抽樣分佈是（）
A.正態分佈，均值為26，標準差為0.45
B.分佈形狀未知，均值為26，標準差為4.5
C.正態分佈，均值為26，標準差為4.5
D.分佈形狀未知，均值為26，標準差0.45
答案：A
解析：不管總體分佈是何種分佈，抽樣分佈都是符合正態分佈的，對於該題中描述的對中小企業的某部門員工進行重複又放回抽樣，此時100個樣本量可看為已經充分大，根據中心極限定理，
Error occurred on encoding katex: KaTeX parse error: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '樣' at position 1: 樣̲本均值 \overline …
4.大樣本的樣本比例的抽樣分佈服從（）
A.正態分佈
B. t分佈
C. F分佈
D. x2x^2x2 分佈
答案：A
解析：由二項分佈的原理和漸進分佈的理論可知，當n充分大時，樣本比例的分佈可用正態分佈去逼近
5.大樣本的樣本比例之差的抽樣分佈服從（）
A.正態分佈
B. t分佈
C. F分佈
D. x2x^2x2 分佈
答案：A
6.估計量的含義是指（）
A.用來估計總體引數的統計量的具體數值
B.用來估計總體引數的統計量的名稱
C.總體引數的具體數值
D.總體引數的名稱
答案：B
解析：熟悉估計量和估計值的定義
7.有關置信區間不正確的是
A. 100次獨立抽樣，產生的區間估計，會有95次的可能正確預測總體平均數
B. 1次獨立抽樣，產生的區間估計，會有95%的可能正確預測總體平均數
C. 100次獨立抽樣，產生的點估計，會有95個總體平均數一致
D. 100次獨立抽樣，產生的區間估計，會有95個正確地包含著總體平均數
答案：ABC
解析：置信區間是包含的概念，而不能用於預測
8.在其他條件都不變的情況下，提高置信水平（或置信度），那麼置信區間會（）
A.變大
B.變小
C.不會有變化
D.有的情況變大，有的情況變小
答案：A
解析：提高置信水平就是提高置信區間 σ，則置信區間變大
Question：什麼是置信水平，什麼是置信區間？
9.在置信水平不變的情況下，要縮小置信區間，則需要（）
A.改變統計量的抽樣標準差
B.減少樣本量
C.增加樣本量
D.保持樣本量不變
答案：C
解析：熟悉置信區間的定義。當置信水平固定時，置信區間的寬度隨樣本量的增大而減小，換言之，較大的樣本所提供的有關總體的資訊要比較小的樣本多
10.在小樣本條件下，當正態總體的方差未知時，估計總體均值使用的分佈是（）
A.正態分佈
B. t 分佈
C. F 分佈
D. x2x^2x2分佈
答案：B
解析：熟悉總體引數估計得不同情況
11.兩個總體方差比的區間估計，使用的分佈是（）
A.正態分佈
B. t 分佈
C. F 分佈
D.x2x^2x2分佈
答案：D
12.抽取一個容量為400的隨機樣本，其均值為80，標準差s=10，總體均值的95%的置信區間為（）
A. 80±1.96
B. 80±0.98
C. 80±0.8
D. 80±1.29
答案：B
解析:95%的置信水平為1.96，總體均值為80±1.96*10/20
13.從一個正態總體中隨機抽取一個容量為n的樣本，其均值和標準差分別為35和4.當n=25時，構造總體均值的95%的置信區間為（）
A. 35±1.96
B. 35±2.22
C. 35±4.97
D. 35±1.65
答案：D
解析：在正態分佈下總體均值的區間估計中，由於樣本量小於30，屬於小樣本，其當前總體標準差未知，所以採用t分佈
當樣本量足夠大的時候，採用的是Z統計量來近似正態分佈的估計
如果樣本量是小於30的，採用的是t統計量來對總體均值進行估計