核心：每操作一個節點，將該節點旋轉到樹根
通過這樣的操作，可以使得平均每個操作的複雜度都是\(O(logn)\)

Splay如何將某個點旋轉到樹根？

定義一種操作：\(Splay(x, k)\) ： 將點\(x\)旋轉至點\(k\)下面(k的取值一般是0或1）

旋轉分兩種，如果是一條直線，先轉\(y\)，再轉\(x\);如果是一條折線，轉兩次\(x\).

操作

1 插入

（1） 插入一個\(x\),並旋轉到根

\(Splay(x, 0)\)

（2） 把一個序列插入到\(y\)的後面

找到\(y\)的後繼\(z\),將\(y\)轉到根,即\(Splay(y, 0)\)),再將\(z\)轉到\(y\)

2 刪除

（1） 刪除一段\(L\) - \(R\)

找到\(L\)的前驅\(L - 1\),找到\(R\)的後繼\(R + 1\),將\(L - 1\)轉到根節點，將\(R + 1\)轉到根節點下面，\(L\) - \(R\)即為\(R + 1\)的左子樹，刪掉即可.

Splay如何維護資訊？

（1）找第\(k\)個數，維護每個子樹的節點個數
（2）lazy標記，表示該區間是否翻轉

在旋轉之後，pushup維護資訊；在遞迴之前，pushdown下傳lazy標記

注意：Splay 保證中序遍歷是當前序列的順序，且get_k找到的是中序遍歷的第\(k\)

模板題 Acwing 2437

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 20;

int n, m;
struct Node
{
	int s[2], p, v;
	int size, flag;
	void init(int _v, int _p)
	{
		v = _v, p = _p;
		size = 1;
	}	
}tr[N];
int root, idx;

void pushup(int x)
{
	tr[x].size = tr[tr[x].s[0]].size + tr[tr[x].s[1]].size + 1;
}

void pushdown(int x)
{
	if(tr[x].flag)
	{
		swap(tr[x].s[0], tr[x].s[1]);
		tr[tr[x].s[0]].flag ^= 1;
		tr[tr[x].s[1]].flag ^= 1;
		tr[x].flag = 0;
	}
}

void rotate(int x)
{
	int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
	int k = tr[y].s[1] == x;
	tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
	tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
	tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
	pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int x, int k)
{
	while(tr[x].p != k)
	{
		int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
		if(z != k)
			if((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		rotate(x); 
	}
	if(!k) root = x;
}

void insert(int v)
{
	int u = root, p = 0;
	while(u) p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
	u = ++ idx;
	if(p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
	tr[u].init(v, p);
	splay(u, 0); 	
}

int get_k(int k)
{
	int u = root;
	while(1)
	{
		pushdown(u);
		if(tr[tr[u].s[0]].size >= k) u = tr[u].s[0];
		else if(tr[tr[u].s[0]].size + 1 == k) return u;
		else k -= tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
	}
	return -1;
}

void output(int u)
{
	pushdown(u);
	if(tr[u].s[0]) output(tr[u].s[0]);
	if(tr[u].v >= 1 && tr[u].v <= n) printf("%d ",tr[u].v);
	if(tr[u].s[1]) output(tr[u].s[1]);  
} 

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	//0和n+1用於防止越界 
	for(int i = 0; i <= n + 1; ++ i) insert(i);	
	while(m -- )
	{
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		l = get_k(l), r = get_k(r + 2);
		splay(l, 0), splay(r, l);
		tr[tr[r].s[0]].flag ^= 1; 
	} 
	output(root);
	return 0;
}
 

例題1 洛谷1486 鬱悶的出納員 (待補)