問題描述

設n>1是一個整數。關於整數n的因子分解問題是找出n的如下形式的唯一分解式：。其中，p1<p2<…<pk是k個素數，m1,m2,…,mk是k個正整數。如果n是一個合數，則n必有一個非平凡因子x，1<x<n，使得x可以整除n。給定一個合數n，求n的一個非平凡因子的問題稱為整數n的因子分割問題。

下面演算法split(n)可以對整數因子分割：

int Split(int n)
{
    int m = floor(sqrt(double(n)));
    for (int i=2; i<=m; i++)
    {
        if
 
 (n%i==0)
        {
            return i;
        }
    }
    return 1;
}

演算法split(n)是對範圍在1～x的所有整數進行了試除而得到範圍在1～x^2的任一整數的因子分割。

Pollard p - 1 方法由Pollard 於1974 年提出，用來找到給定合數n的一個因子d。Pollard演算法用於Split(n)相同工作量就可以得到在1～x^4範圍內整數的因子分割。具體過程如下：在開始時選取0～n-1範圍內的隨機數，然後遞迴地由
產生無窮序列對於i=2^k，k=0,1,.....以及2^k<j<=2^(k+1)，演算法計算出xj-xi與n的最大公因子d=gcd(xj-xi，n)。如果d是n的非平凡因子，則實現對n的一次分割，演算法輸出n的因子d。

演算法具體實現如下：其中gcd(a,b)是求兩個整數最大公因素的歐幾里得演算法。

//隨機化演算法 拉斯維加斯演算法 因子分割問題
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;
 
//求整數a和b最大公因數的歐幾里得演算法
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        return a;
    }
    else
    {
        return gcd(b,a%b);
    }
}
 
 
//求整數n因子分割的拉斯維加斯演算法
void Pollard(int n)
{
    RandomNumber rnd;
    int i = 1;
    int x = rnd.Random(n);            //隨機整數
    int y = x;
    int k = 2;
 
    while(true)
    {
        i++;
        x = (x*x - 1) % n;            //x[i]=(x[i-1]^2-1) mod n
        int d = gcd(y-x,n);            //求n的非平凡因子
 
        if((d>1) && (d<n))
        {
            cout<<d<<endl;//因子分割問題：求n的[一]個非平凡因子的問題
            return;
        }
 
        if(i == k)
        {
            y = x;
            k *= 2;
        }
    }
}
 
int main()
{
    int n = 1024;
    cout<<n<<"的非平凡因子："<<endl;
    Pollard(n);
    return 0;
}

#include"time.h"
//隨機數類
const unsigned long maxshort = 65536L;
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 12345L;
 
class RandomNumber
{
    private:
        //當前種子
        unsigned long randSeed;
    public:
        RandomNumber(unsigned long s = 0);//建構函式，預設值0表示由系統自動產生種子
        unsigned short Random(unsigned long n);//產生0：n-1之間的隨機整數
        double fRandom(void);//產生[0,1)之間的隨機實數
};
 
RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)//產生種子
{
    if(s == 0)
    {
        randSeed = time(0);//用系統時間產生種子
    }
    else
    {
        randSeed = s;//由使用者提供種子
    }
}
 
unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)//產生0：n-1之間的隨機整數
{
    randSeed = multiplier * randSeed + adder;//線性同餘式
    return (unsigned short)((randSeed>>16)%n);
}
 
double RandomNumber::fRandom(void)//產生[0,1)之間的隨機實數
{
    return Random(maxshort)/double(maxshort);
}

執行結果:

對Pollard演算法更深入的分析可知，執行演算法的while迴圈約次後，Pollard演算法會輸出n的一個因子p。由於n的最小素因子，故Pollard演算法可在O(n^(1/4))時間內找到n的一個素因子。在上述Polllard演算法中還可將產生序列Xi的遞迴式改作

Xi=（Xi-1^2-c）mod n,其中，c是一個不等於0和2的整數。

參考文獻：王曉東《演算法設計與分析》第二版

https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/9246821