1.1什麼是線性迴歸

我們首先用弄清楚什麼是線性，什麼是非線性。

• 線性：兩個變數之間的關係是一次函式關係的——圖象是直線，叫做線性。

  注意：題目的線性是指廣義的線性，也就是資料與資料之間的關係。

• 非線性：兩個變數之間的關係不是一次函式關係的——圖象不是直線，叫做非線性。

相信通過以上兩個概念大家已經很清楚了，其次我們經常說的迴歸迴歸到底是什麼意思呢。

• 迴歸：人們在測量事物的時候因為客觀條件所限，求得的都是測量值，而不是事物真實的值，為了能夠得到真實值，無限次的進行測量，最後通過這些測量資料計算迴歸到真實值，這就是迴歸的由來。

通俗的說就是用一個函式去逼近這個真實值，那又有人問了，線性迴歸不是用來做預測嗎？是的，通過大量的資料我們是可以預測到真實值

1.2線性迴歸要解決什麼問題

對大量的觀測資料進行處理，從而得到比較符合事物內部規律的數學表示式。也就是說尋找到資料與資料之間的規律所在，從而就可以模擬出結果，也就是對結果進行預測。解決的就是通過已知的資料得到未知的結果。例如：對房價的預測、判斷信用評價、電影票房預估等。

1.3線性迴歸的一般模型

大家看上面圖片，圖片上有很多個小點點，通過這些小點點我們很難預測當x值=某個值時，y的值是多少，我們無法得知，所以，數學家是很聰明的，是否能夠找到一條直線來描述這些點的趨勢或者分佈呢？答案是肯定的。相信大家在學校的時候都學過這樣的直線，只是當時不知道這個方程在現實中是可以用來預測很多事物的。

那麼問題來了，什麼是模型呢？先來看看下面這幅圖。

假設資料就是x，結果是y，那中間的模型其實就是一個方程，這是一種片面的解釋，但有助於我們去理解模型到底是個什麼東西。以前在學校的時候總是不理解數學建模比賽到底在做些什麼，現在理解了，是從題目給的資料中找到資料與資料之間的關係，建立數學方程模型，得到結果解決現實問題。其實是和機器學習中的模型是一樣的意思。那麼線性迴歸的一般模型是什麼呢？

模型神祕的面紗已經被我們揭開了，就是以上這個公式，不要被公式嚇到，只要知道模型長什麼樣就行了。假設i=0，表示的是一元一次方程，是穿過座標系中原點的一條直線，以此類推。

1.4如何使用模型

我們知道x是已知條件，通過公式求出y。已知條件其實就是我們的資料，以預測房價的案例來說明：

上圖給出的是某個地區房價的一些相關資訊，有日期、房間數、建築面積、房屋評分等特徵，表裡頭的資料就是我們要的x1、x2、x3…….... 自然的表中的price列就是房屋的價格，也就是y。現在需要求的就是theta的值了，後續步驟都需要依賴計算機來訓練求解。

1.5模型計算

當然，這些計算雖然複雜，但python庫中有現成的函式直接呼叫就可以求解。我們為了理解內部的計算原理，就需要一步一步的來剖析計算過程。

為了容易理解模型，假設該模型是一元一次函式，我們把一組資料x和y帶入模型中，會得到如下圖所示線段。

是不是覺得這條直線擬合得不夠好？顯然最好的效果應該是這條直線穿過所有的點才是，需要對模型進行優化，這裡我們要引入一個概念。

• 損失函式：是用來估量你模型的預測值 f(x)與真實值 YY 的不一致程度，損失函式越小，模型的效果就越好。

不要看公式很複雜，其實就是一句話，(預測值-真實值)的平法和的平均值，換句話說就是點到直線距離和最小。用一幅圖來表示：

解釋：一開始損失函式是比較大的，但隨著直線的不斷變化(模型不斷訓練)，損失函式會越來越小，從而達到極小值點，也就是我們要得到的最終模型。

這種方法我們統稱為梯度下降法。隨著模型的不斷訓練，損失函式的梯度越來越平，直至極小值點，點到直線的距離和最小，所以這條直線就會經過所有的點，這就是我們要求的模型(函式)。

以此類推，高維的線性迴歸模型也是一樣的，利用梯度下降法優化模型，尋找極值點，這就是模型訓練的過程。

1.6過擬合與欠擬合(underfitting and overfitting)

在機器學習模型訓練當中，模型的泛化能力越強，就越能說明這個模型表現很好。什麼是模型的泛化能力？

• 模型的泛化能力：機器學習模型學習到的概念在它處於學習的過程中時模型沒有遇見過的樣本時候的表現。

模型的泛化能力直接導致了模型會過擬合與欠擬合的情況。讓我們來看看一下情況：

我們的目標是要實現點到直線的平方和最小，那通過以上圖示顯然可以看出中間那幅圖的擬合程度很好，最左邊的情況屬於欠擬合，最右邊的情況屬於過擬合。

• 欠擬合：訓練集的預測值，與訓練集的真實值有不少的誤差，稱之為欠擬合。

• 過擬合：訓練集的預測值，完全貼合訓練集的真實值，稱之為過擬合。

欠擬合已經很明白了，就是誤差比較大，而過擬合呢是訓練集上表現得很好，換一批資料進行預測結果就很不理想了，泛化泛化說的就是一個通用性。

解決方法

使用正則化項，也就是給梯度下降公式加上一個引數，即：

加入這個正則化項好處：

• 控制引數幅度，不讓模型“無法無天”。

• 限制引數搜尋空間

• 解決欠擬合與過擬合的問題。

看到這裡是不是覺得很麻煩，我之前說過現在是解釋線性迴歸模型的原理與優化，但是到了真正使用上這些方法是一句話的事，因為這些計算庫別人已經準備好了，感謝開源吧！

程式碼實現

資料集

from __future__ import print_function

# 匯入相關python庫
import os
import numpy as np
import pandas as pd

#設定隨機數種子
np.random.seed(36)

#使用matplotlib庫畫圖
import matplotlib
import seaborn
import matplotlib.pyplot as plot

from sklearn import datasets


#讀取資料
df=pd.read_csv('kc_train.csv')
df.columns=['銷售日期','銷售價格','臥室數','浴室數','房屋面積',
            '停車面積','樓層數','房屋評分','建築面積','地下室面積',
            '建築年份','修復年份','緯度','經度']
target=df['銷售價格']
df.drop(labels=['銷售價格'],inplace=True,axis=1)
housing=df
# housing = pd.read_csv('kc_train.csv')
# target=pd.read_csv('kc_train2.csv')  #銷售價格
t=pd.read_csv('kc_test.csv')         #測試資料
t.columns=['銷售日期','臥室數','浴室數','房屋面積',
            '停車面積','樓層數','房屋評分','建築面積','地下室面積',
            '建築年份','修復年份','緯度','經度']


#特徵縮放
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
minmax_scaler=MinMaxScaler()
minmax_scaler.fit(housing)
#進行內部擬合，內部引數會發生變化
scaler_housing=minmax_scaler.transform(housing)
scaler_housing=pd.DataFrame(scaler_housing,columns=housing.columns)

mm=MinMaxScaler()
mm.fit(t)
scaler_t=mm.transform(t)
scaler_t=pd.DataFrame(scaler_t,columns=t.columns)



#選擇基於梯度下降的線性迴歸模型
from sklearn.linear_model import LinearRegression
LR_reg=LinearRegression()
#進行擬合
LR_reg.fit(scaler_housing,target)


#使用均方誤差用於評價模型好壞
from sklearn.metrics import mean_squared_error
preds=LR_reg.predict(scaler_housing)   #輸入資料進行預測得到結果
mse=mean_squared_error(preds,target)   #使用均方誤差來評價模型好壞，可以輸出mse進行檢視評價值

#繪圖進行比較
plot.figure(figsize=(10,7))       #畫布大小
num=100
x=np.arange(1,num+1)              #取100個點進行比較
plot.plot(x,target[:num],label='target')      #目標取值
plot.plot(x,preds[:num],label='preds')        #預測取值
plot.legend(loc='upper right')  #線條顯示位置
plot.show()


#輸出測試資料
result=LR_reg.predict(scaler_t)
df_result=pd.DataFrame(result)
df_result.to_csv("result.csv")

結果如下：