Description

給定長度為 \(n\) 的數列，將其分成若干份，每份的權值為 $ax^2 + bx + c $，其中 \(x\) 為該份的和。最大化權值總和。

Solution

設 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 個數經過若干次劃分能得到的最大權值，則有

\(b\) 項的總和是一個定值，先將它分出去，剩餘部分經過變形得到

以 \(s[j]\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;

int n,s[N],f[N],a,b,c;
int q[N],head=0,tail=0;

int getx(int j)
{
    return s[j];
}

int gety(int j)
{
    return f[j]+a*s[j]*s[j];
}

int getk(int i)
{
    return 2*a*s[i];
}

int getfi(int i,int val)
{
    return val+a*s[i]*s[i]+c;
}

double slope(int i,int j)
{
    return 1.0*(gety(i)-gety(j))/(getx(i)-getx(j));
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n;

    cin>>a>>b>>c;
    
    int ans=0;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])>getk(i)) ++head;
        int j=q[head];
        f[i]=getfi(i, gety(j)-getk(i)*getx(j));
        while(head<tail && slope(i,q[tail])>slope(q[tail-1],q[tail])) --tail;
        q[++tail]=i;
    }


    cout<<f[n]+b*s[n]<<endl;
}