• 演算法分析
  • 樹 -> prufer 序列
    • 演算法流程：
    • 實現方式：
    • 一些性質
  • prufer 序列 -> 樹
    • 演算法流程：
    • 實現方式：
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題目連結

演算法分析

（我似乎之前學過兩遍\(prufer\)，但是我咕咕咕了，而且板子也不知道丟到哪裡去了（難怪我這麼菜

樹 -> prufer 序列

演算法流程：

1. 找到樹中編號最小的入度為\(1\)的結點（葉結點）
2. 刪去該結點，並將與該結點相鄰結點的標號加入\(prufer\)序列
3. 重複\(1,2\)操作\(n-2\)次，直到圖中只剩下兩個結點。

實現方式：

1. 每次暴力列舉編號最小的葉結點，進行操作。
2. 堆優化。把度數變為\(1\)
   的點丟到堆裡去，每次從堆裡取結點，複雜度\(O(nlogn)\)。
3. 用指標。指標指向編號最小的葉結點，每次刪掉之後，如果產生了新的葉結點，並且比指標指向的下一個更小，就直接刪掉新產生的那個，否則指標自增找到下一個編號最小的葉結點，（其實沒必要存圖了）複雜度\(O (n)\)

一些性質

1. 葉結點在\(prufer\)序列中不會出現
2. 剩下的兩個結點中，有一個結點的編號是最大的編號\(n\)
3. 一個結點在\(prufer\)序列出現的次數為它度數\(-1\)
4. \(n\)個點的無向完全圖的生成樹計數，即\(n\)個點的有編號無根樹計數：\(n^{n-2}\)
5. \(n\)個點的有編號有根樹的計數：\(n^{n-2}\times n=n^{n-1}\)
   （無根樹選一個節點作為根，所以\(\times n\)

void T_to_P()
{
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		f[i]=rd(),d[f[i]]++;//兒子個數 
	for(int i=1,j=1/*指標*/;i<=n-2;i++,j++)
	{
		while(d[j]) j++;//找到下一個葉結點 
		p[i]=f[j];//將葉結點的爸爸記進prufer序列 
		d[f[j]]--;
		while(i<=n-2&&d[p[i]]==0&&p[i]<j) p[i+1]=f[p[i]],d[p[i+1]]--,i++;//如果爸爸變成了葉結點並且比j小 
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
		ans=ans^(1ll*i*p[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}
 

prufer 序列 -> 樹

演算法流程：

（其實就是上述演算法反過來而已

1. 根據\(prufer\)序列的性質，可以算出每個點的度數。
2. 找到一個編號最小的度數為\(1\)的結點。
3. 將該結點與當前的\(prufer\)序列的點相連，然後同時減去這兩個點的度數。
4. 重複\(2,3\)操作\(n-2\)次，只剩下兩個結點。
5. 將剩下的兩個結點相連。

實現方式：

1. 暴力列舉最小的度數為\(1\)的點。
2. 堆優化。一樣的，就不說了。
3. 用指標。指標剛開始指向編號最小的度數為\(1\)的結點，每次連線之後，如果度數減掉之後產生了新的度數為\(1\)的結點，並且比指標指向的更小，就繼續把新產生的結點搞掉，否則還是指標繼續往下列舉找到下一個編號最小的度數為\(1\)的結點。

void P_to_T()
{
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
		p[i]=rd(),d[p[i]]++;//數在prufer序列出現的次數是度數-1 
	p[n-1]=n;
	//最後剩下的結點中一定有n 並且另一個點的編號小於n 可以把它放進來 就不用單獨連最後兩個點
	for(int i=1,j=1;i<=n-1;i++,j++)
	{
		while(d[j]) j++;
		f[j]=p[i];
		d[f[j]]--;
		while(i<=n-1&&d[p[i]]==0&&p[i]<j) f[p[i]]=p[i+1],d[p[i+1]]--,i++;
		//如果爸爸(j的爸爸 是p[i])變成了度為1並且比j小 那麼爸爸和下一個prufer序列裡的數相連
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		ans=ans^(1ll*i*f[i]);
	printf("%lld\n",ans); 
}

►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 5000005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f*x;
}
int n,opt;
int f[N],p[N],d[N];
void T_to_P()
{
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		f[i]=rd(),d[f[i]]++;//兒子個數 
	for(int i=1,j=1/*指標*/;i<=n-2;i++,j++)
	{
		while(d[j]) j++;//找到下一個葉結點 
		p[i]=f[j];//將葉結點的爸爸記進prufer序列 
		d[f[j]]--;
		while(i<=n-2&&d[p[i]]==0&&p[i]<j) p[i+1]=f[p[i]],d[p[i+1]]--,i++;//如果爸爸變成了葉結點並且比j小 
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
		ans=ans^(1ll*i*p[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}
void P_to_T()
{
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
		p[i]=rd(),d[p[i]]++;//數在prufer序列出現的次數是度數-1 
	p[n-1]=n;
	//最後剩下的結點中一定有n 並且另一個點的編號小於n 可以把它放進來 就不用單獨連最後兩個點
	for(int i=1,j=1;i<=n-1;i++,j++)
	{
		while(d[j]) j++;
		f[j]=p[i];
		d[f[j]]--;
		while(i<=n-1&&d[p[i]]==0&&p[i]<j) f[p[i]]=p[i+1],d[p[i+1]]--,i++;
		//如果爸爸(j的爸爸 是p[i])變成了度為1並且比j小 那麼爸爸和下一個prufer序列裡的數相連
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		ans=ans^(1ll*i*f[i]);
	printf("%lld\n",ans); 
}
int main()
{
	n=rd(),opt=rd();
	if(opt==1) T_to_P();
	else P_to_T();
	return 0;
}