Problem

CF194B Square

Solution

這是一道比較有趣的數學題。
我們設結果為 \(x+1\)，為什麼 \(+1\) 呢？為的是後面好計算。這裡加的 \(1\) 是最開始放的那個。
容易看出題意就是從 \(0\) 開始，每次加 \(n+1\) 再對 \(4n\) 取模，直到變成 \(0\) 為止。問這樣的操作要幾次。於是可以列出下面這個方程：

到這裡好像沒有頭緒了……
可以想到結果應該是和 \(4\) 有關的，於是我們可以分類討論下。

（由於題目要求，算出來的都是最小正整數解，所以下面直接用 \(=\)

當 \(n \equiv 0 \pmod 4\) 時，顯然

所以 \(x \equiv 0 \pmod{4n}\)，容易得到

當 \(n \equiv 1 \pmod 4\) 時，可以像上面那樣算出 \(x+x \equiv 0 \pmod{4n}\)，所以又可以得到

當 \(n \equiv 2 \pmod 4\) 時，又可以得到 \(2x+x \equiv 0 \pmod{4n}\)，此時可以得到

顯然題目要讓 \(k\) 儘量小且結果為正整數，所以 \(k=3\)

當 \(n \equiv 3 \pmod 4\) 時，可以得到

整理一下就是：

• 當 \(n \bmod 4=0\)時，\(ans=4n+1\)
• 當 \(n \bmod 4=1\)時，\(ans=2n+1\)
• 當 \(n \bmod 4=2\)時，\(ans=4n+1\)
• 當 \(n \bmod 4=3\)時，\(ans=n+1\)

\(ans\) 表示題目要求的答案。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long T,n;
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		switch(n%4)
		{
			case 0:printf("%lld\n",4*n+1);break;
			case 1:printf("%lld\n",2*n+1);break;
			case 2:printf("%lld\n",4*n+1);break;
			case 3:printf("%lld\n",n+1);break;
		}
	}
	return 0;
}