最近在刷平衡樹，看到標題就進來了，沒想到是個dp？？？看了看，發現可以貪心，於是就有了這篇題解。

分析：

因為紅黑樹本身的性質，所以我們可以通過畫圖來列舉所有情況：

先把每一個節點看成黑色的，通過紅黑樹性質來把一些結點變成紅色的。

• \(case1:\)

如圖：

最虧的一種情況，兩個黑色節點沒變出來一個紅色節點。

• \(case2:\)

如圖：

三個黑色節點變成一個紅色節點，有點浪費。

• \(case3:\)

如圖：

此時四個黑色節點變成兩個紅色節點，黑色節點的利用率最大。

所以，貪心就很明確了。

\(\text{code:}\)

#include "cstdio"
int n, ans, k;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	k = n + 1;
	while (k > 1)
	{
		ans += k & 1;
		k >>= 1;
	}
	printf("%d\n", ans);
	k = n + 1;
	ans = 0;
	while (k > 1)
	{
		if (k == 2)
			ans++, k--;
		else if ((k & 3) == 1)
			ans += ((k >> 2) << 1) - 1, k >>= 2, k++;
		else if ((k & 3) == 2)
			ans += ((k >> 2) << 1), k >>= 2, k++;
		else if ((k & 3) == 3)
			ans += ((k >> 2) << 1) + 1, k >>= 2, k++;
		else
			ans += (k >> 1), k >>= 2;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}
 

關於DP

自己想了一種方法，不過好像有億點點慢。

以最小值為例：

用 \(R_{(i,j)}\) 表示 \(i\) 個結點，黑高度為 \(j\) 的紅根樹中紅色結點最小值；

\(B_{(i,j)}\) 表示 \(i\) 個結點，黑高度為 \(j\) 的黑根樹中紅色結點最小值。

\(\therefore R_{(i,j)}=\min\left({R_{(i,j)},B_{(k,j-1)}+B_{(i-k-1,j-1)}+1}\right)\quad(i\leq k\leq i-2)\)；

\(\therefore B_{(i,j)}=\min\left({B_{(k,j-1)},B_{(i-k-1,j-1)},R_{(k,j)}+R_{(i-k-1,j)},R_{(k,j)}+B_{(i-k-1,j-1)}}\right)\quad(i\leq k\leq i-2)\)

程式碼就不放了，貪心它不香嗎？