傅立葉變換（Fourier Transform，簡稱FT）常用於數字訊號處理，它的目的是將時間域上的訊號轉變為頻率域上的訊號。隨著域的不同，對同一個事物的瞭解角度也隨之改變，因此在時域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡單的處理。同時，可以從頻域裡發現一些原先不易察覺的特徵。傅立葉定理指出“任何連續週期訊號都可以表示成（或者無限逼近）一系列正弦訊號的疊加。”

傅立葉公式（1）如下，其中w表示頻率，t表示時間，為複變函式。它將時間域的函式表示為頻率域的函式f(t)的積分。

傅立葉變換認為一個周期函式（訊號）包含多個頻率分量，任意函式（訊號）f(t)可通過多個周期函式（或基函式）相加合成。從物理角度理解，傅立葉變換是以一組特殊的函式（三角函式）為正交基，對原函式進行線性變換，物理意義便是原函式在各組基函式的投影。如上圖所示，它是由三條正弦曲線組合成。其函式為（2）所示。

傅立葉變換可以應用於影象處理中，經過對影象進行變換得到其頻譜圖。從譜頻圖裡頻率高低來表徵影象中灰度變化劇烈程度。影象中的邊緣訊號和噪聲訊號往往是高頻訊號，而影象變化頻繁的影象輪廓及背景等訊號往往是低頻訊號。這時可以有針對性的對影象進行相關操作，例如影象除噪、影象增強和銳化等。二維影象的傅立葉變換可以用以下數學公式（3）表達，其中f是空間域（Spatial Domain）)值，F是頻域（Frequency Domain）值。

對上面的傅立葉變換有了大致的瞭解之後，下面通過Numpy和OpenCV分別講解影象傅立葉變換的演算法及操作程式碼。

Numpy中的 FFT包提供了函式 np.fft.fft2()可以對訊號進行快速傅立葉變換，其函式原型如下所示，該輸出結果是一個複數陣列（Complex Ndarry）。

• fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)
  – a表示輸入影象，陣列狀的複雜陣列
  – s表示整數序列，可以決定輸出陣列的大小。輸出可選形狀（每個轉換軸的長度），其中s[0]表示軸0，s[1]表示軸1。對應fit(x,n)函式中的n，沿著每個軸，如果給定的形狀小於輸入形狀，則將剪下輸入。如果大於則輸入將用零填充。如果未給定’s’，則使用沿’axles’指定的軸的輸入形狀
  – axes表示整數序列，用於計算FFT的可選軸。如果未給出，則使用最後兩個軸。“axes”中的重複索引表示對該軸執行多次轉換，一個元素序列意味著執行一維FFT
  – norm包括None和ortho兩個選項，規範化模式（請參見numpy.fft）。預設值為無

Numpy中的fft模組有很多函式，相關函式如下：

• numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  計算一維傅立葉變換
• numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  計算二維的傅立葉變換
• numpy.fft.fftn()
  計算n維的傅立葉變換
• numpy.fft.rfftn()
  計算n維實數的傅立葉變換
• numpy.fft.fftfreq()
  返回傅立葉變換的取樣頻率
• numpy.fft.shift()
  將FFT輸出中的直流分量移動到頻譜中央

下面的程式碼是通過Numpy庫實現傅立葉變換，呼叫np.fft.fft2()快速傅立葉變換得到頻率分佈，接著呼叫np.fft.fftshift()函式將中心位置轉移至中間，最終通過Matplotlib顯示效果圖。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅立葉變換演算法得到頻率分佈
f = np.fft.fft2(img)

#預設結果中心點位置是在左上角,
#呼叫fftshift()函式轉移到中間位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft結果是複數, 其絕對值結果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示結果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始影象')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅立葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖2所示，圖2(a)為原始影象，圖2(b)為頻率分佈圖譜，其中越靠近中心位置頻率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表該頻率的訊號振幅越大。

需要注意，傅立葉變換得到低頻、高頻資訊，針對低頻和高頻處理能夠實現不同的目的。同時，傅立葉過程是可逆的，影象經過傅立葉變換、逆傅立葉變換能夠恢復原始影象。

下列程式碼呈現了原始影象在變化方面的一種表示：影象最明亮的畫素放到中央，然後逐漸變暗，在邊緣上的畫素最暗。這樣可以發現影象中亮、暗畫素的百分比，即為頻域中的振幅AA的強度。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv.imread('Na.png', 0)

#傅立葉變換
f = np.fft.fft2(img)

#轉移畫素做幅度普
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#取絕對值：將複數變化成實數取對數的目的為了將資料變化到0-255
res = np.log(np.abs(fshift))

#展示結果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.show()

輸出結果如圖3所示，圖3(a)為原始影象，圖3(b)為頻率分佈圖譜。

下面介紹Numpy實現傅立葉逆變換，它是傅立葉變換的逆操作，將頻譜影象轉換為原始影象的過程。通過傅立葉變換將轉換為頻譜圖，並對高頻（邊界）和低頻（細節）部分進行處理，接著需要通過傅立葉逆變換恢復為原始效果圖。頻域上對影象的處理會反映在逆變換影象上，從而更好地進行影象處理。

影象傅立葉變化主要使用的函式如下所示：

• numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  實現影象逆傅立葉變換，返回一個複數陣列
• numpy.fft.fftshift()
  fftshit()函式的逆函式，它將頻譜影象的中心低頻部分移動至左上角
• iimg = numpy.abs(逆傅立葉變換結果)
  將複數轉換為0至255範圍

下面的程式碼分別實現了傅立葉變換和傅立葉逆變換。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅立葉變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示結果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影象')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title(u'(b)傅立葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(c)傅立葉逆變換處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖4所示，從左至右分別為原始影象、頻譜影象、逆傅立葉變換轉換影象。

OpenCV 中相應的函式是cv2.dft()和用Numpy輸出的結果一樣，但是是雙通道的。第一個通道是結果的實數部分，第二個通道是結果的虛數部分，並且輸入影象要首先轉換成 np.float32 格式。其函式原型如下所示：

• dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)
  – src表示輸入影象，需要通過np.float32轉換格式
  – dst表示輸出影象，包括輸出大小和尺寸
  – flags表示轉換標記，其中DFT _INVERSE執行反向一維或二維轉換，而不是預設的正向轉換；DFT _SCALE表示縮放結果，由陣列元素的數量除以它；DFT _ROWS執行正向或反向變換輸入矩陣的每個單獨的行，該標誌可以同時轉換多個向量，並可用於減少開銷以執行3D和更高維度的轉換等；DFT _COMPLEX_OUTPUT執行1D或2D實陣列的正向轉換，這是最快的選擇，預設功能；DFT _REAL_OUTPUT執行一維或二維複數陣列的逆變換，結果通常是相同大小的複數陣列，但如果輸入陣列具有共軛複數對稱性，則輸出為真實陣列
  – nonzeroRows表示當引數不為零時，函式假定只有nonzeroRows輸入陣列的第一行（未設定）或者只有輸出陣列的第一個（設定）包含非零，因此函式可以處理其餘的行更有效率，並節省一些時間；這種技術對計算陣列互相關或使用DFT卷積非常有用

注意，由於輸出的頻譜結果是一個複數，需要呼叫cv2.magnitude()函式將傅立葉變換的雙通道結果轉換為0到255的範圍。其函式原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮點型X座標值，即實部
  – y表示浮點型Y座標值，即虛部

該函式最終輸出結果為幅值，即：

下面的程式碼是呼叫cv2.dft()進行傅立葉變換的一個簡單示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅立葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#將頻譜低頻從左上角移動至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#頻譜影象雙通道複數轉換為0-255區間
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示影象
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title(u'(a)原始影象'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title(u'(b)傅立葉變換處理'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

輸出結果如圖5所示，圖5(a)為原始“Lena”圖，圖5(b)為轉換後的頻譜影象，並且保證低頻位於中心位置。

在OpenCV 中，通過函式cv2.idft()實現傅立葉逆變換，其返回結果取決於原始影象的型別和大小，原始影象可以為實數或複數。其函式原型如下所示：

• dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])
  – src表示輸入影象，包括實數或複數
  – dst表示輸出影象
  – flags表示轉換標記
  – nonzeroRows表示要處理的dst行數，其餘行的內容未定義（請參閱dft描述中的卷積示例）

注意，由於輸出的頻譜結果是一個複數，需要呼叫cv2.magnitude()函式將傅立葉變換的雙通道結果轉換為0到255的範圍。其函式原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮點型X座標值，即實部
  – y表示浮點型Y座標值，即虛部

該函式最終輸出結果為幅值，即：

下面的程式碼是呼叫cv2.idft()進行傅立葉逆變換的一個簡單示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅立葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示影象
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影象')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title(u'(b)傅立葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title(u'(b)傅立葉變換逆處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖6所示，圖6(a)為原始“Lena”圖，圖6(b)為傅立葉變換後的頻譜影象，圖6©為傅立葉逆變換，頻譜影象轉換為原始影象的過程。

傅立葉變換的目的並不是為了觀察影象的頻率分佈（至少不是最終目的），更多情況下是為了對頻率進行過濾，通過修改頻率以達到影象增強、影象去噪、邊緣檢測、特徵提取、壓縮加密等目的。

過濾的方法一般有三種：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、帶通（Band-pass）。所謂低通就是保留影象中的低頻成分，過濾高頻成分，可以把過濾器想象成一張漁網，想要低通過濾器，就是將高頻區域的訊號全部拉黑，而低頻區域全部保留。例如，在一幅大草原的影象中，低頻對應著廣袤且顏色趨於一致的草原，表示影象變換緩慢的灰度分量；高頻對應著草原影象中的老虎等邊緣資訊，表示影象變換較快的灰度分量，由於灰度尖銳過度造成。

高通濾波器是指通過高頻的濾波器，衰減低頻而通過高頻，常用於增強尖銳的細節，但會導致影象的對比度會降低。該濾波器將檢測影象的某個區域，根據畫素與周圍畫素的差值來提升畫素的亮度。圖7展示了“Lena”圖對應的頻譜影象，其中心區域為低頻部分。

接著通過高通濾波器覆蓋掉中心低頻部分，將255兩點變換為0，同時保留高頻部分，高通濾波器處理過程如圖8所示。

其中心黑色模板生成的核心程式碼如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

通過高通濾波器將提取影象的邊緣輪廓，生成如圖9所示影象。

完整程式碼如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅立葉變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

#設定高通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示原始影象和高通濾波處理影象
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影象')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(b)結果影象')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖10所示，圖10(a)為原始“Na”圖，圖10(b)為高通濾波器提取的邊緣輪廓影象。它通過傅立葉變換轉換為頻譜影象，再將中心的低頻部分設定為0，再通過傅立葉逆變換轉換為最終輸出影象。

低通濾波器是指通過低頻的濾波器，衰減高頻而通過低頻，常用於模糊影象。低通濾波器與高通濾波器相反，當一個畫素與周圍畫素的插值小於一個特定值時，平滑該畫素的亮度，常用於去燥和模糊化處理。如PS軟體中的高斯模糊，就是常見的模糊濾波器之一，屬於削弱高頻訊號的低通濾波器。

下圖展示了“Lena”圖對應的頻譜影象，其中心區域為低頻部分。如果構造低通濾波器，則將頻譜影象中心低頻部分保留，其他部分替換為黑色0，最終得到的效果圖為模糊影象。

那麼，如何構造該濾波影象呢？如圖12所示，濾波影象是通過低通濾波器和頻譜影象形成。其中低通濾波器中心區域為白色255，其他區域為黑色0。

低通濾波器主要通過矩陣設定構造，其核心程式碼如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
• mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

通過低通濾波器將模糊影象的完整程式碼如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv2.imread('Na.png', 0)

#傅立葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)

#設定低通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

#掩膜影象和頻譜影象乘積
f = fshift * mask
print(f.shape, fshift.shape, mask.shape)


#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#顯示原始影象和低通濾波處理影象
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖13所示，圖13(a)為原始“Nana”圖，圖13(b)為低通濾波器模糊處理後的影象。

霍夫變換（Hough Transform）是一種特徵檢測（Feature Extraction），被廣泛應用在影象分析、計算機視覺以及數位影像處理。霍夫變換是在1959年由氣泡室（Bubble Chamber）照片的機器分析而發明，發明者Paul Hough在1962年獲得美國專利。現在廣泛使用的霍夫變換是由Richard Duda和Peter Hart在1972年發明，並稱之為廣義霍夫變換。經典的霍夫變換是檢測圖片中的直線，之後，霍夫變換不僅能識別直線，也能夠識別任何形狀，常見的有圓形、橢圓形。1981年，因為Dana H.Ballard的一篇期刊論文“Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes”，讓霍夫變換開始流行於計算機視覺界。

霍夫變換是一種特徵提取技術，用來辨別找出物件中的特徵，其目的是通過投票程式在特定型別的形狀內找到物件的不完美例項。這個投票程式是在一個引數空間中進行的，在這個引數空間中，候選物件被當作所謂的累加器空間中的區域性最大值來獲得，累加器空間是由計算霍夫變換的演算法明確地構建。霍夫變換主要優點是能容忍特徵邊界描述中的間隙，並且相對不受影象噪聲的影響。

最基本的霍夫變換是從黑白影象中檢測直線，它的演算法流程大致如下：給定一個物件和要辨別的形狀的種類，演算法會在引數空間中執行投票來決定物體的形狀，而這是由累加空間裡的區域性最大值來決定。假設存在直線公式如（4）所示，其中m表示斜率，b表示截距。

如果用引數空間表示，則直線為（b, m），但它存在一個問題，垂直線的斜率不存在（或無限大），使得斜率引數m值接近於無限。為此，為了更好的計算，Richard O. Duda和Peter E. Hart在1971年4月，提出了Hesse normal form（Hesse法線式），如公式（5）所示，它轉換為直線的離散極座標公式。

其中r是原點到直線上最近點的距離，θ是x軸與連線原點和最近點直線之間的夾角，如圖15-14所示。

對於點(x0, y0)，可以將通過這個點的一族直線統一定義為公式（6）。因此，可以將影象的每一條直線與一對引數(r,θ)相關聯，相當於每一對(r0,θ)代表一條通過點的直線(x0, y0)，其中這個引數(r,θ)平面被稱為霍夫空間。

然而在實現的影象處理領域，影象的畫素座標P(x, y)是已知的，而(r,θ)是需要尋找的變數。如果能根據畫素點座標P(x, y)值繪製每個(r,θ)值，那麼就從影象笛卡爾座標系統轉換到極座標霍夫空間系統，這種從點到曲線的變換稱為直線的霍夫變換。變換通過量化霍夫引數空間為有限個值間隔等分或者累加格子。當霍夫變換演算法開始，每個畫素座標點P(x, y)被轉換到(r,θ)的曲線點上面，累加到對應的格子資料點，當一個波峰出現時候，說明有直線存在。

如圖15所示，三條正弦曲線在平面相交於一點，該點座標(r0,θ)表示三個點組成的平面內的直線。這就是使用霍夫變換檢測直線的過程，它追蹤影象中每個點對應曲線間的交點，如果交於一點的曲線的數量超過了閾值，則認為該交點所代表的引數對(r0,θ)在原影象中為一條直線。

同樣的原理，可以用來檢測圓，對於圓的引數方程變為如下等式：

其中(a, b)為圓的中心點座標，r圓的半徑。這樣霍夫引數空間就變成一個三維引數空間。給定圓半徑轉為二維霍夫引數空間，變換相對簡單，也比較常用。

在OpenCV中，霍夫變換分為霍夫線變換和霍夫圓變換，其中霍夫線變換支援三種不同方法——標準霍夫變換、多尺度霍夫變換和累計概率霍夫變換。

• 標準霍夫變換主要有HoughLines()函式實現。
• 多尺度霍夫變換是標準霍夫變換在多尺度下的變換，可以通過HoughLines()函式實現。
• 累計概率霍夫變換是標準霍夫變換的改進，它能在一定範圍內進行霍夫變換，計算單獨線段的方向及範圍，從而減少計算量，縮短計算時間，可以通過HoughLinesP()函式實現。

在OpenCV 中，通過函式HoughLines()檢測直線，並且能夠呼叫標準霍夫變換（SHT）和多尺度霍夫變換（MSHT），其函式原型如下所示：

• lines = HoughLines(image, rho, theta, threshold[, lines[, srn[, stn[, min_theta[, max_theta]]]]])
  – image表示輸入的二值影象
  – lines表示經過霍夫變換檢測到直線的輸出向量，每條直線為(r,θ)
  – rho表示以畫素為單位的累加器的距離精度
  – theta表示以弧度為單位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的閾值引數，識別某部分為圖中的一條直線時它在累加平面中必須達到的值，大於該值線段才能被檢測返回
  – srn表示多尺度霍夫變換中rho的除數距離，預設值為0。粗略的累加器進步尺寸為rho，而精確的累加器進步尺寸為rho/srn
  – stn表示多尺度霍夫變換中距離精度theta的除數，預設值為0,。如果srn和stn同時為0，使用標準霍夫變換
  – min_theta表示標準和多尺度的霍夫變換中檢查線條的最小角度。必須介於0和max_theta之間
  – max_theta表示標準和多尺度的霍夫變換中要檢查線條的最大角度。必須介於min_theta和π之間

下面的程式碼是呼叫HoughLines()函式檢測影象中的直線，並將所有的直線繪製於原影象中。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
gray = cv2.imread('judge.png', 0)

#灰度變換
#gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#轉換為二值影象
edges = cv2.Canny(gray, 50, 150)

#顯示原始影象
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測直線
lines = cv2.HoughLines(edges, 1, np.pi / 180, 160)

#轉換為二維
line = lines[:, 0, :] 

#將檢測的線在極座標中繪製 
for rho,theta in line[:]: 
    a = np.cos(theta)
    b = np.sin(theta)
    x0 = a * rho
    y0 = b * rho
    print x0, y0
    x1 = int(x0 + 1000 * (-b))
    y1 = int(y0 + 1000 * (a))
    x2 = int(x0 - 1000 * (-b))
    y2 = int(y0 - 1000 * (a))
    print x1, y1, x2, y2
    #繪製直線
    cv2.line(gray, (x1, y1), (x2, y2), (255, 0, 0), 2)

#顯示處理影象
plt.subplot(122), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖16所示，第一幅圖為原始影象，第二幅檢測出的直線。

使用該方法檢測大樓影象中的直線如圖17所示，可以發現直線會存在越界的情況。

前面的標準霍夫變換會計算影象中的每一個點，計算量比較大，另外它得到的是整條線(r,θ)，並不知道原圖中直線的端點。接下來使用累計概率霍夫變換，它是一種改進的霍夫變換，呼叫HoughLinesP()函式實現。

• lines = HoughLinesP(image, rho, theta, threshold[, lines[, minLineLength[, maxLineGap]]])
  – image表示輸入的二值影象
  – lines表示經過霍夫變換檢測到直線的輸出向量，每條直線具有4個元素的向量，即（x1, y1）和（x2, y2）是每個檢測線段的端點
  – rho表示以畫素為單位的累加器的距離精度
  – theta表示以弧度為單位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的閾值引數，識別某部分為圖中的一條直線時它在累加平面中必須達到的值，大於該值線段才能被檢測返回
  – minLineLength表示最低線段的長度，比這個設定引數短的線段不能被顯示出來，預設值為0
  – maxLineGap表示允許將同一行點與點之間連線起來的最大距離，預設值0

下面的程式碼是呼叫HoughLinesP()函式檢測影象中的直線，並將所有的直線繪製於原影象中。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影象
img = cv2.imread('judge.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#轉換為二值影象
edges = cv2.Canny(gray, 50, 200)

#顯示原始影象
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影象')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測直線
minLineLength = 60
maxLineGap = 10
lines = cv2.HoughLinesP(edges, 1, np.pi/180, 30, minLineLength, maxLineGap)

#繪製直線
lines1 = lines[:, 0, :]
for x1,y1,x2,y2 in lines1[:]:
    cv2.line(img, (x1,y1), (x2,y2), (255,0,0), 2)

res = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)

#設定字型
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示處理影象
plt.subplot(122), plt.imshow(res), plt.title(u'(b)結果影象')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖18所示，圖18(a)為原始影象，圖18(b)檢測出的直線，它有效地提取了線段的起點和終點。

霍夫圓變換的原理與霍夫線變換很類似，只是將線的(r,θ)二維座標提升為三維座標，包括圓心點(x_center,y_center,r)和半徑r，其數學形式如公式（7）。

從而一個圓的確定需要三個引數，通過三層迴圈實現，接著尋找引數空間累加器的最大（或者大於某一閾值）的值。隨著資料量的增大，導致圓的檢測將比直線更耗時，所以一般使用霍夫梯度法減少計算量。在OpenCV中，提供了cv2.HoughCircles()函式檢測圓，其原型如下所示：

• circles = HoughCircles(image, method, dp, minDist[, circles[, param1[, param2[, minRadius[, maxRadius]]]]])
  – image表示輸入影象，8位灰度單通道影象
  – circles表示經過霍夫變換檢測到圓的輸出向量，每個向量包括3個元素，即（x, y, radius）
  – method表示檢測方法，包括HOUGH_GRADIENT值
  – dp表示用來檢測圓心的累加器影象的解析度於輸入影象之比的倒數，允許建立一個比輸入影象解析度低的累加器
  – minDist表示霍夫變換檢測到的圓的圓心之間的最小距離
  – param1表示引數method設定檢測方法的對應引數，對當前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示傳遞給Canny邊緣檢測運算元的高閾值，而低閾值為高閾值的一半，預設值100
  – param2表示引數method設定檢測方法的對應引數，對當前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示在檢測階段圓心的累加器閾值，它越小，將檢測到更多根本不存在的圓；它越大，能通過檢測的圓就更接近完美的圓形
  – minRadius表示圓半徑的最小值，預設值為0
  – maxRadius表示圓半徑的最大值，預設值0

下列程式碼是檢測影象中的圓。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv2.imread('test01.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#顯示原始影象
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測圓
#circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 100,
#                           param1=100, param2=30, minRadius=200, maxRadius=300)

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20, param2=30)

print(circles1)

#提取為二維
circles = circles1[0, :, :]

#四捨五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#繪製圓
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #畫圓
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 10) #畫圓心

#顯示處理影象
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖19所示，圖19(a)為原始影象，圖圖19(b)檢測出的圓形，它有效地提取了圓形的圓心和輪廓。

使用下面的函式能有效提取人類眼睛的輪廓，核心函式如下：

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=300)

輸出結果如圖20所示，它提取了三條圓形接近於人體的眼睛。

圖20中顯示了三條曲線，通過不斷優化最大半徑和最小半徑，比如將minRadius設定為160，maxRadius設定為200，將提取更為精準的人體眼睛，如圖21所示。

最終程式碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv2.imread('eyes.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#顯示原始影象
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測圓
circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=200)
print(circles1)

#提取為二維
circles = circles1[0, :, :]

#四捨五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#繪製圓
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #畫圓
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 8) #畫圓心

#顯示處理影象
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

本文主要講解傅立葉變換和霍夫變換。傅立葉變換主要用來進行影象除噪、影象增強處理，通過Numpy和OpenCV兩種方法分別進行敘述，並結合程式碼加深了讀者的印象；霍夫變換主要用來辨別找出物件中的特徵，包括提取影象中的直線和圓，呼叫cv2.HoughLines()、cv2.HoughLinesP()和cv2.HoughCircles()實現。