正常的歐幾里得演算法

1 int gcd(int a,int b){
2     return b==0?a:gcd(b,a%b);
3 }

可以在O(n)的時間複雜度內，求出a和b兩數的最大公約數。

而擴充套件歐幾里得演算法則可以在求出最大公約數的同時，求出兩個數x，y，使得x*a+y*b=gcd(a,b)，用處就是可以用來求解線性同餘方程（寫在下邊）

 1 //推薦第二種寫法
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 int exgcd1(int a,int b,int& x,int& y){
 5     if
 
(b==0){
 6         x=1,y=0;
 7         return a;
 8     }else{
 9         int d=exgcd1(b,a%b,x,y);
10         int t=y;
11         y=x-(a/b)*y;
12         x=t;
13         return d;
14     }　　
15 }
16 int exgcd2(int a,int b,int& x,int& y){
17     if(b==0){
18         x=1,y=0;
19         return a;
20     }else
 
{
21         int d=exgcd2(b,a%b,y,x);
22         y=y-(a/b)*x;
23         return d;
24     }
25 }
26 int main(void){
27     int n;
28     cin>>n;
29     for(int i=0;i<n;i++){
30         int a,b,x,y;
31         cin>>a>>b;
32         exgcd2(a,b,x,y);
33         cout<<x<<" "
 
<<y<<endl;
34     }
35     return 0;
36 }

第一種證明，第二種類似

求解同餘方程

同餘方程的定義，給定a,b,m，求出一個滿足條件的x，使得a*x=b(mod m)。

也就是a*x=b+y*m，令y′=-y，得

x*a+ y′ *m=b，這就和上邊的擴充套件歐幾里得完全符合

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
 5     if(b==0){
 6         x=1,y=0;
 7         return a;
 8     }else{
 9         int d=exgcd(b,a%b,y,x);
10         y=y-(a/b)*x;
11         return d;
12     }
13 }
14 int main(void){
15     int n;
16     cin>>n;
17     for(int i=0;i<n;i++){
18         int a,b,m;
19         int x,y;
20         cin>>a>>b>>m;
21         int d=exgcd(a,m,x,y);
22         if(b%d==0){
23             cout<<(LL)(b/d)*x%m<<endl;//%m是為了保證答案在m的範圍內
24                                       //% m 仍然是正確的是因為，相當於將y′增加了
25         }else{
26             cout<<"impossible"<<endl;
27         }
28     }
29     return 0;
30 }

既然能解同餘方程的話，那就能夠求逆元，只不過逆元是更加特殊的情況，b=1

具體的可以翻一翻部落格。