技術標籤：線段樹/數狀陣列

題目連結：G.Caesar Cipher

題意

給一個範圍為[0,65535]的陣列
你可以進行以下操作：

1. 操作一：給出l和r，然後對[l,r]區間裡的每一個數+1，然後每個數對65536取模
2. 操作二：給出x,y和l，詢問[x,x+l-1]和[y,y+l-1]這兩個區間裡的元素是否完全相同，相同輸出yes，否則no。

題解

對於詢問區間相同，暴力顯然不可行，所以只能雜湊去判斷，這種區間操作的題只能用線段樹維護雜湊。(大部分比賽中hash指的進位制hash)

想入門hash的可以看牛客有位大佬的部落格：雜湊從入門到精通
進位制雜湊其實就是把一個數轉化為一個值，這個值是base進位制的。

線段樹維護hash會遇到幾個問題：

1. 如何把左右兩個區間的hash值pushup。在瞭解進位制hash後，這個操作就不難實現。
   h a s h [ p ] = h a s h [ p ∗ 2 ] ∗ b a s e l e n 右 區 間 + h a s h [ p ∗ 2 + 1 ] { hash[p]=hash[p*2]*base^{len_{右區間}}+hash[p*2+1] } hash[p]=hash[p∗2]∗baselen右區間​+hash[p∗2+1] （base是進位制數）
2. 操作一對區間+1後，如何對hash值進行修改。
   其實不難發現變化的就是base的字首和。例如某個區間的hash= ∑ i = 0 n a [ i ] ∗ b a s e i {\sum_{i=0}^{n}a[i]*base^i}
   ∑i=0n​a[i]∗basei，每個數+1後，hash= ∑ i = 0 n ( a [ i ] + 1 ) ∗ b a s e i = ∑ i = 0 n a [ i ] ∗ b a s e i + ∑ i = 0 n b a s e i {\sum_{i=0}^{n}(a[i]+1)*base^i}={\sum_{i=0}^{n}a[i]*base^i}+\sum_{i=0}^nbase^i ∑i=0n​(a[i]+1)∗basei=∑i=0n​a[i]∗basei+∑i=0n​basei。所以我們只需維護一個base冪次的字首和即可。
3. 在加完後如何取模？
   我們可以維護一個區間最大值， 在每次對區間+1後，再更新線段樹。如果左子樹最大值大於等於65536，則向左子樹更新；右子樹亦如此。直到遇到節點的最大值小於模值則停止向下遞迴。在最後的葉子節點減去模值來更新最大值以及hash值。
4. 在查詢時如何合併左右區間值
   和第一個問題區間合併類似， h a s h [ r o o t ] = h a s h [ l ] ∗ b a s e l e n 查 詢 右 區 間 + h a s h [ r ] {hash[root]=hash[l]*base^{len_{查詢右區間}}+hash[r]} hash[root]=hash[l]∗baselen查詢右區間​+hash[r]

解決這些問題本題基本就迎刃而解了。

程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=(1<<30)+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5e5+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const ll base=23333333;
const ll mod1=65536;
ll a[maxn];
ll tree[maxn<<2],lazy[maxn<<2],poww[maxn<<2],pre[maxn<<2];
ull Hash[maxn<<2];

void pushup(int p,int l,int r)
{
	tree[p]=max(tree[p*2],tree[p*2+1]);
	int mid=(l+r)>>1;
	Hash[p]=(Hash[p*2]*poww[r-mid]%mod+Hash[p*2+1])%mod;
}
void pushdown(int p,int l,int r)
{
	if(lazy[p]==0) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	
	Hash[p*2]=(Hash[p*2]+lazy[p]*pre[mid-l]%mod)%mod;
	Hash[p*2+1]=(Hash[p*2+1]+lazy[p]*pre[r-mid-1]%mod)%mod;
	
	lazy[p*2]+=lazy[p];
	lazy[p*2+1]+=lazy[p];
	
	tree[p*2]+=lazy[p];
	tree[p*2+1]+=lazy[p];
	lazy[p]=0;
}
void build(int p,int l,int r)
{
	lazy[p]=0;
	if(l==r) { Hash[p]=tree[p]=a[l]; return ; }
	int mid=(l+r)/2;
	build(p*2, l, mid);
	build(p*2+1, mid+1, r);
	pushup(p,l,r);
}

void add(int p,int l,int r,int addl,int addr)
{
	if(addl<=l && r<=addr)
	{
		Hash[p]=(Hash[p]+pre[r-l])%mod;
		tree[p]++;
		lazy[p]++;
		return ;
	}
	pushdown(p, l, r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(addl<=mid) add(p*2,l,mid,addl,addr);
	if(addr>mid) add(p*2+1,mid+1,r,addl,addr);
	pushup(p, l, r);
}
void update_mod(int p,int l,int r)
{
	if(tree[p]<mod1) return ;
	if(l==r)
	{
		tree[p]-=mod1;
		Hash[p]-=mod1;
		return ;
	}
	pushdown(p, l, r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(tree[p*2]>=mod1) update_mod(p*2, l, mid);
	if(tree[p*2+1]>=mod1) update_mod(p*2+1, mid+1, r);
	pushup(p, l, r);
}
ll query(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l && qr>=r) return Hash[p];
	pushdown(p, l, r);
	int mid=(l+r)>>1;
	ll s=0;
	if(ql<=mid) s=query(p*2, l, mid, ql, qr)%mod;
	if(qr>mid) s=(s*poww[min(qr,r)-mid]%mod+query(p*2+1, mid+1, r, ql, qr))%mod;
	return s;
}
int main()
{
	int n,q;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	poww[0]=1;
	for(int i=1;i<=4*n;i++) poww[i]=poww[i-1]*base%mod;
	pre[0]=1;
	for(int i=1;i<=4*n;i++) pre[i]=(pre[i-1]+poww[i])%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	build(1, 1, n);
	while (q--) {
		int opt;
		scanf("%d",&opt);
		if(opt==1)
		{
			int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
			add(1, 1, n, l, r);
			update_mod(1, 1, n);
		}
		else
		{
			int x,y,l; scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
			if(query(1,1,n,x,x+l-1)==query(1,1,n,y,y+l-1)) printf("yes\n");
			else printf("no\n");
		}
	}
}