技術標籤：=====FFT=====

一、理解

快速求兩個多項式相乘。樸素做法就是暴力列舉兩個多項式的每一項【】。FFT，先用點值法（後面解釋）把多項式表示出來（DFT過程）【】，再計算點值相乘【】，然後再把點值法還原成係數法（後面解釋）表示（IDFT過程）【】。

點值法：涉及線代，簡單理解就是把多項式看為函式。中學知識告訴我們，n個未知數（這裡的未知數是每一項的係數）至少要有n個方程才能有唯一解。（線代可以證明，有興趣自己查。）那麼，如果我們知道函式的n個不同的值。即n個，我們就可以唯一的確定一個多項式。DFT就是巧妙的利用複數，將n個係數快速的轉換為對應的n個點【】。

係數法：係數法就是用

二、模板

以luogu 3803的模板題為例，用的kuangbin大神（沒時間手敲了）的板子。

其中極座標(r,i)，對應直角座標系(x,y)。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
const double PI = acos(-1.0);
struct Complex
{
    double r,i;
    Complex(double _r = 0,double _i = 0)
    {
        r = _r; i = _i;
    }
    Complex operator +(const Complex &b)
    {
        return Complex(r+b.r,i+b.i);
    }
    Complex operator -(const Complex &b)
    {
        return Complex(r-b.r,i-b.i);
    }
    Complex operator *(const Complex &b)
    {
        return Complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
    }
};
void change(Complex* y,int len)
{
    int i,j,k;
    for(i = 1, j = len/2;i < len-1;i++)
    {
        if(i < j)swap(y[i],y[j]);
        k = len/2;
        while( j >= k)
        {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if(j < k)j += k;
    }
}
void fft(Complex* y,int len,int on)
{
    change(y,len);
    for(int h = 2;h <= len;h <<= 1)
    {
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j = 0;j < len;j += h)
        {
            Complex w(1,0);
            for(int k = j;k < j+h/2;k++)
            {
                Complex u = y[k];
                Complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] = u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i = 0;i < len;i++)
            y[i].r /= len;
}
Complex x1[N<<2];
Complex x2[N<<2];
int n,m,a[N],b[N];
int num[N<<1]; 
int main(void){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<=m;i++)
		scanf("%d",&b[i]);
	int len,len1;
	//len1=n+m+1;
	len=1;
	while(len < ((n+1)<<1) || len < ((m+1)<<1)) len <<= 1;
	for(int i = 0; i <= n; i++)
	   x1[i] = Complex(a[i],0);
	for(int i = n+1; i < len; i++)
	   x1[i] = Complex(0,0);
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	   x2[i] = Complex(b[i],0);
	for(int i = m+1; i < len; i++)
	   x2[i] = Complex(0,0);
	fft(x1,len,1);
	fft(x2,len,1);
	for(int i = 0;i < len;i++)
            x1[i] = (x1[i]*x2[i]);
	fft(x1,len,-1);	
    for(int i = 0;i <= n+m;i++)
        num[i] = (x1[i].r+0.5);	
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
		printf("%d%c",num[i],i==n+m?'\n':' ');
	
	return 0;	
} 
 

三、例題

1、luogu P3803 【模板】多項式乘法（FFT） 題解

2、luoguP1919 【模板】A*B Problem升級版（FFT快速傅立葉） 題解

3、HDU - 1402A * B Problem Plus 題解

4、石油大 2020年秋季組隊訓練賽第二十五場 問題 H: Needle 題解

5、HDU - 4609 3-idiots 題解

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